Кантор За ироничным отношением к собственной биографии Карлу Икану едва удается скрывать досадное замешательство: «Если бы вы купили недвижимость в любом квартале Нью-Йорка в 50-е годы, то непременно заработали бы кучу денег в будущем. В любом квартале, кроме Квинса, в

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ КАНТОРА. Кантор развил определенную технику оперирования с актуально бесконечными множествами и построил определенный аналог понятия количества для бесконечных множеств. Основой этой техники служит понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств. Говорят, что элементы двух множеств можно поставить во взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества можно поставить в соответствие элемент второго множества, разным – разные, и при этом каждый элемент второго множества будет соответствовать какому-то элементу первого. Про такие множества говорят, что они эквивалентны, что они имеют одинаковую мощность, или одинаковое кардинальное число. Если же можно доказать, что элементы множества А можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с элементами подмножества В1 множества В, а элементы множества В нельзя поставить во взаимнооднозначное соответствие с элементами А, то тогда говорят, что мощность множества В больше мощности множества А.Эти определения применимы и к конечным множествам. В этом случае мощность представляет собой аналог конечных чисел. Но бесконечные множества имеют в этом смысле парадоксальные свойства. Бесконечное множество оказывается эквивалентным своей части, напр. так, как это происходит в т.н. «парадоксе Галилея»:

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

Эти парадоксы были известны давно, и именно они, в частности, служили препятствием для рассмотрения актуально бесконечных множеств. То, что здесь просто сказывается специфика актуально бесконечного, объяснял в «Парадоксах бесконечного» Больцано. Дедекинд считал это свойство актуально бесконечных множеств характеристическим.

Кантор развивает арифметику кардинальных чисел. Суммой двух кардинальных чисел является мощность объединения соответствующих им множеств, произведением – мощность т.н. множества-произведения двух данных множеств и т.д. Важнейшим оказывается переход от данного множества к множеству-степени, т.е., по определению, к множеству всех подмножеств исходного множества. Кантор доказывает основополагающую для его теории теорему: мощность множества-степени больше мощности исходного множества. Если мощность исходного множества записать через а, то в соответствии с арифметикой кардинальных чисел мощность множества-степени будет 2a, и мы имеем, следовательно, 2a >а.

Значит, переходя от некоторого бесконечного множества, напр. от множества всех натуральных чисел, имеющего мощность ℵα (обозначение Кантора) к множеству всех подмножеств этого множества, к множеству всех подмножеств этого нового множества и т.д., мы будем получать ряд множеств все более возрастающей мощности. Есть ли какой-то предел этому возрастанию? Ответить на этот вопрос можно, только введя в рассмотрение некоторые дополнительные понятия.

Оперировать с бесконечными множествами, лишенными всякой дополнительной структуры, вообще говоря, невозможно. Поэтому Кантор ввел в рассмотрение упорядоченные множества, т.е. множества, для любых двух элементов которых определено отношение «больше» > (или «меньше» <). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... ω0, ω0 + 1 ... ω1... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (ординалы)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ («тау»-кардиналы)

Согласно теоремам теории множеств любой «отрезок» шкалы Ω ординальных чисел, сам как множество вполне упорядоченное, будет иметь больший ординал, чем все заключенные в этом отрезке. Отсюда вытекает, что невозможно рассматривать все Ω как множество, т.к. в противном случае Ω имело бы своим ординалом β, которое больше всех ординалов в Ω, но поскольку последнее содержит все ординалы, т.е. и β, то было бы: β > β (парадокс Бурали – Форти, 1897). Кантор стремился обойти этот парадокс введением (с 1880-х гг.) понятия консистентноcсти. Не любая множественность (Vielheit) есть множество (Menge). Множественность называется консистентной, или множеством, если ее можно рассматривать, как законченное целое. Если же допущение «совместного бытия» всех элементов множественности ведет к противоречию, то множественность оказывается неконсистентной, и ее, собственно, нельзя рассматривать в теории множеств. Такими неконсистентными множествами оказываются, в частности, Ω – множество всех ординальных чисел и τ («тау») – множество всех кардиналов («алефов»). Тем самым мы опять возвращаемся к бесконечности как к процессу. Как пишет математик 20 в. П.Вопенка: «Теория множеств, усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу» (Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. – «Новое в зарубежной науке. Математика», 1983, № 31, с. 124.) Это не смущало, однако, самого Кантора. Он считал, что шкала «алефов» поднимается до бесконечности самого Бога и поэтому то, что последняя оказывается математически невыразимой, было для него само сабой разумеющимся: «Я никогда не исходил из какого-либо «Genus supremum» актуальной бесконечности. Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное несуществование «Genus supremum» для актуальной бесконечности. То, что превосходит все бесконечное и трансфинитное, не есть «Genus»; это есть единственное, в высшей степени индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает «Абсолютное», непостижимое для человеческого понимания. Это есть «Actus Purissimus», которое многими называется Богом» (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. – «Der Mathematilkuntemcht», 1971, № 4, S. 30–34).

Б. H. Катасонов

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. I, А - Д, с. 249-250.

P.S. Весьма «сухой язык», но вполне читабельно после университетской программы. По большей части определения парадоксов брались из Википедии (упрощённая формулировка и готовая TeX-разметка).

Введение

Следует начать с определения.

Что есть множество? Вопрос достаточно простой, ответ на него вполне интуитивен. Множество это некий набор элементов, представляемый единым объектом. Кантор в своей работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre даёт определение: под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). Как видим, суть не изменилась, разница лишь в той части, которая зависит от мировоззрения определяющего. История же теории множеств как в логике так и в математике весьма противоречива. Фактически начало ей положил Кантор в XIX веке, далее Рассел и остальные продолжили работу.

Парадоксы (логики и теории множеств) - (греч. - неожиданный) - формально-логические противоречия, которые возникают в содержательной множеств теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников подобных противоречий и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов - одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.

Целью данной работы является изучение парадоксов теории множеств как наследников античных антиномий и вполне логичных следствий перехода к новому уровню абстракции - бесконечности. Задача - рассмотреть основные парадоксы, их философскую интерпретацию.

Основные парадоксы теории множеств

Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?

Некторые из логических парадоксов были известны с античных времён, однако по причине того, что математическая теория ограничивалась одной лишь арифметикой и геометрией, соотнести их с теорией множеств было невозможно. В XIX веке ситуация изменилась коренным образом: Кантор в своих работах вышел на новый уровень абстракции. Он ввёл понятие бесконечности, создав тем самым новый раздел математики и позволив тем самым сравнивать различные бесконечности с помощью понятия «мощность множества» . Однако тем самым он породил множество парадоксов. Самым первым является так называемый парадокс Бурали-Форти . В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одно из формальных определений.

Можно доказать, что если x - произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов x . Предположим теперь, что - множество всех порядковых чисел. Тогда - порядковое число, большее или равное любому из чисел в . Но тогда и - порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в . Но это противоречит условию, по которому - множество всех порядковых чисел.

Сущность же парадокса в том, что при образовании множества всех порядковых чисел образуется новый порядковый тип, которого ещё не было среди «всех» трансфинитных порядковых чисел, существовавших до образования множества всех порядковых чисел. Этот парадокс был обнаружен самим Кантором, независимо открыт и опубликован итальянским математиком Бурали-Форти, ошибки же последнего были исправлены Расселом, после чего формулировка приобрела окончательный вид .

Среди всех попыток избежать подобных парадоксов и в какой-то мере попробовать их объяснить наибольшего внимания заслуживает идея уже упомянутого Рассела. Он предложил исключить из математики и логики импредикативные предложения, в которых определение элемента множества зависит от последнего, что и вызывает парадоксы. Правило звучит так: «никакое множество С не может содержать элементов m, определяемых лишь в терминах множества С, а так же элементов n, предполагающих в своём определении это множество» . Подобное ограничение определения множества позволяет избежать парадоксов, но при этом значительно сужает область его применения в математике. Вдобавок этого недостаточно для объяснения их природы и причин появления, коренящихся в дихотомии мышления и языка, в особенностях формальной логики . В какой-то мере в данном ограничении можно проследить аналогию с тем, что в более поздний период когнитивные психологи и лингвисты начали называть «категоризацией основного уровня»: определение сведено к наиболее легкой для понимания и изучения концепцией.

Предположим, что множество всех множеств существует. В этом случае справедливо , то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует - мощность любого множества не превосходит мощности V. Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество всех подмножеств , и по теореме Кантора , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что для любой формулы A, не содержащей y свободно. Замечательное доказательство отсутствия подобных противоречий на основе аксиоматизированной теории множеств Цермело-Френкеля приводится у Поттера .

Оба вышеуказанных парадокса с логической точки зрения идентичны «Лжецу» либо «Брадобрею»: высказываемое суждение обращено не только на нечто объективное по отношению к нему, но и само на себя. Однако следует обращать внимание не только на логическую сторону, но и на понятие бесконечности, которое тут наличествует. В литературе ссылаются на работу Пуанкаре, в которой он пишет: «вера в существование актуальной бесконечности… делает необходимым эти непредикативные определения"" .
В целом же имеют место основные моменты :

• в данных парадоксах нарушается правило чётко разделять „сферы“ предиката и субъекта; степень смешения близка к подмене одного понятия другим;
• обычно в логике предполагается, что в процессе рассуждения субъект и предикат сохраняют свой объём и содержание, в данном же случае происходит
  переход из одной категории в другую, что даёт в результате несоответствие;
• наличие слова „все“ имеет смысл для конечного числа элементов, в случае же бесконечного их количества возможно наличие такого, которое
  для определения себя потребует определение множества;
• нарушаются основные логические законы:
  • закон тождества нарушается тогда, когда обнаруживается нетождественность себе субъекта и предиката;
  • закон противоречия - когда с одинаковым правом выводятся два противоречащих друг другу суждения;
  • закон исключённого третьего - когда это третье приходится признавать, а не исключать, поскольку ни первое, ни второе не могут быть признаны одно без другого, т.к. они оказываются одинаково правомерными.

Парадокс Тристрама Шенди:
В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. «Теперь я утверждаю, - возражает на это Рассел, - что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».
Действительно, события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным.

Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Рассел проводит аналогию между этим романом и Зеноном с его черепахой. По его мнению решение лежит в том, что целое эквивалентно его части в бесконечности. Т.е. к противоречию приводит только «аксиома здравого смысла» . Однако же разрешение проблемы лежит в области чистой математики. Очевидно, что имеется два множества - года и дни, между элементами которых установлено взаимно-однозначное соответствие - биекция. Тогда при условии бесконечной жизни главного героя имеется два бесконечных равномощных множества, что, если рассматривать мощность как обобщение понятия количества элементов в множестве, разрешает парадокс.

Парадокс (теорема) Банаха-Тарского или парадокс удвоения шара - теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число частей, передвинуть их, и составить из них второе.
Более точно, два множества A и B являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств так, что для каждого i подмножество конгруэнтно .

Если же пользоваться теоремой выбора, то определение звучит так:
Аксиома выбора подразумевает, что существует разбиение поверхности единичной сферы на конечное количество частей, которые преобразованиями трёхмерного Евклидова пространства, не меняющими форму этих составляющих, могут быть собраны в две сферы единичного радиуса.

Очевидно, что при требовании для данных частей быть измеримыми, данное постоение неосуществимо. Известный физик Ричард Фейнман в своей биографии рассказывал, как в своё время у него получилось победить в споре о разбиении апельсина на конечное количество частей и пересоставлении его .

В определённых моментах этот парадокс используется для опровержения аксиомы выбора, однако проблема в том, что то, что мы считаем элементарной геометрией, - несущественно. Те понятия, которые мы считаем интуитивными, должны быть расширены до уровня свойств трансцендентных функций .

Чтобы и дальше ослабить уверенность тех, кто считает аксиому выбора неверной, следует упомянуть теорему Мазуркевича и Серпинского, которая утверждает, что существует непустое подмножество Е Евклидовой плоскости, которое имеет два непересекающихся подмножества, каждое из которых может быть разбито на конечное количество частей, так что их можно перевести изометриями в покрытие множества Е.
При этом доказательство не требует использования аксиомы выбора.
Дальнейшие же построения на основе аксиомы определённости дают разрешение парадокса Банаха-Тарского, но не представляют такого интереса .

• Парадокс Ришара: требуется назвать «наименьшее число, не названное в этой книге». Противоречие в том, что с одной стороны, это можно сделать, так как есть наименьшее число, названное в этой книге. Исходя из него, можно назвать и наименьшее неназванное. Но тут возникает проблема: континуум является несчётным, между двумя любыми числами можно вставить ещё бесконечное множество промежуточных чисел. С другой стороны, если бы мы могли назвать это число, оно автоматически бы перешло из класса неупомянутых в книге, в класс упомянутых .
• Парадокс Греллинга-Нильсона: слова либо знаки могут обозначать какое-либо свойство и при этом иметь его или нет. Самая тривиальная формулировка звучит так: является ли слово «гетерологичный» (что означает «неприменимый к самому себе»), гетерологичным?.. Весьма схож с парадоксом Рассела в связи с наличием диалектического противоречия: нарушается двойственность формы и содержания. В случае со словами, имеющими высокий уровень абстракции, невозможно решить, являются ли эти слова гетерологичными .
• Парадокс Сколема: используя теорему Гёделя о полноте и теорему Лёвенхейма-Сколема получаем, что аксиоматическая теория множеств остаётся истинной и тогда, когда будет предполагаться (иметься) для её интерпретации только счётная совокупность множеств. В то же время
  аксиоматическая теория включает в себя уже упомянутую теорему Кантора, что приводит нас к несчётным бесконечным множествам.

Разрешение парадоксов

Логицизм был попыткой свести всю известную математику к терминам арифметики, а потом термины арифметики свести к понятиям математической логики. Вплотную этим занялся Фреге, однако после окончания работы над трудом, он вынужден был указать о своей несостоятельности, после того, как Рассел указал на имеющиеся в теории противоречия. Тот же Рассел, как уже был упомянуто ранее, попытался исключить использование импредикативных определений с помощью «теории типов». Однако его понятия множества и бесконечности, а так же аксиома сводимости оказались нелогичными. Основной проблемой было то, что не учитывались качественные различия между формальной и математической логикой, а так же наличие лишних понятий, в том числе и интуитивного характера.
В итоге теория логицизма не смогла устранить диалектических противоречий парадоксов, связанных с бесконечностью. Имели место лишь принципы и методы, которые позволяли избавиться хотя бы от непредикативных определений. В свох же рассуждениях Рассел был наследником Кантора

В конце XIX - начале XX в. распространение формалистической точки зрения на математику было связано с развитием аксиоматического метода и той программой обоснования математики, которую выдвинул Д. Гильберт. На степень важности этого факта указывает то, что первой проблемой из двадцати трёх, которые он поставил перед математическим сообществом, была проблема бесконечности. Формализация была необходима для доказательства непротиворечивости классической математики, «исключив при этом из неё всю метафизику». Учитывая средства и методы, которыми пользовался Гильберт, его цель оказалась принципиально невыполнимой, но его программа имела огромное влияние на все последующее развитие оснований математики. Гильберт достаточно долго работал над этой проблемой, построив первоначально аксиоматику геометрии. Поскольку решение проблемы оказалось достаточно успешным, он решил применить аксиоматический метод к теории натуральных чисел. Вот что он писал в связи с этим: «Я преследую важную цель: именно я хотел бы разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в строго выводимую формулу.» От бесконечности при этом планировалось избавиться с помощью сведения её к некому конечному числу операций. Для этого он обращался к физике с её атомизмом, дабы показать всю несостоятельность бесконечных величин. Фактически Гильберт поставил вопрос о соотношении теории и объективной реальности.

Более или менее полное представление о финитных методах дает ученик Гильберта Ж. Эрбран. Под финитными рассуждениями он понимает такие рассуждения, которые удовлетворяют следующим условиям: логические парадоксы " - всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций;

Функции имеют точное определение, и это определение позволяет нам вычислить их значение;

Никогда не утверждается «Этот объект существует», если не известен способ его построения;

Никогда не рассматривается множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности;

Если известно, что какое-либо рассуждение или теорема верны для всех этих X, то это означает, что это общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного X, причем само это общее рассуждение следует рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждений."

Однако в момент последней публикации в этой области Гёдель уже получил свои результаты, в сущности опять обнаружил и утвердил наличие диалектики в процессе познания. По сути своей дальнейшее развитие математики продемонстрировало несостоятельность программы Гильберта.

Что же, собственно, доказал Гёдель? Можно выделить три основных результата:

1. Гёдель показал невозможность математического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, доказательства, которое не использовало бы каких-либо иных правил вывода, кроме тех, что имеются в самой данной системе. Такое доказательство, которое использует более мощное правило вывода, может оказаться полезным. Но если эти правила вывода сильнее логических средств арифметического исчисления, то уверенности в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений не будет. Во всяком случае, если используемые методы не будут финитистскими, то программа Гильберта окажется невыполнимой. Гёдель как раз и показывает несостоятельность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.
2. Гёдель указал на принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода: система Principia Mathematica, как и всякая иная система, с помощью которой строится арифметика, существенно неполна, т. е. для любой непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, которые не выводятся из аксиом этой системы.
3. Теорема Гёделя показывает, что никакое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, и даже если мы наполним ее бесконечным множеством аксиом, то в новой системе всегда найдутся истинные, но не выводимые средствами этой системы положения. Аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел не в состоянии охватить всю область истинных арифметических суждений, и то, что мы понимаем под процессом математического доказательства, не сводится к использованию аксиоматического метода. После теоремы Гёделя стало бессмысленно рассчитывать, что понятию убедительного математического доказательства можно будет придать раз и навсегда очерченные формы.

Последним в этой череде попыток объяснить теорию множеств был интуиционизм.

Он прошел ряд этапов в своей эволюции - полуинтуиционизм, собственно интуиционизм, ультраинтуиционизм. На разных этапах математиков волновали разные проблемы, но одной из основных проблем математики является проблема бесконечности. Математические понятия бесконечности, непрерывности служили предметом философского анализа с момента их появления (идеи атомистов, апории Зенона Элейского, инфинитезимальные методы в античности, исчисление бесконечно малых в Новое время и пр.). Наибольшие споры вызывало применение различных видов бесконечности (потенциальной, актуальной) как математических объектов и их интерпретация. Все эти проблемы, на наш взгляд, были порождены более глубокой проблемой - о роли субъекта в научном познании. Дело в том, что состояние кризиса в математике порождено эпистемологической неопределенностью соизмерения мира объекта (бесконечности) и мира субъекта. Математик как субъект имеет возможность выбора средств познания - или потенциальной, или актуальной бесконечности. Применение потенциальной бесконечности как становящейся, дает ему возможность осуществлять, конструировать бесконечное множество построений, которые можно надстраивать над конечными, не имея конечного шага, не завершая построение, оно только возможно. Применение актуальной бесконечности дает ему возможность работать с бесконечностью как с уже осуществимой, завершенной в своем построении, как актуально данной одновременно.

На этапе полуинтуиционизма проблема бесконечности еще не была самостоятельной, а была вплетена в проблему построения математических объектов и способов его обоснования. Полуинтуиционизм А. Пуанкаре и представителей парижской школы теории функций Бэра, Лебега и Бореля был направлен против принятия аксиомы свободного выбора, с помощью которой доказывается теорема Цермело, утверждавшая, что всякое множество можно сделать вполне упорядоченным, но без указания теоретического способа определения элементов любого подмножества искомого множества. Нет способа построения математического объекта, нет и самого математического объекта. Математики считали, что наличие или отсутствие теоретического способа построения последовательности объектов исследования может служить основой обоснования или опровержения этой аксиомы. В российском варианте полуинтуиционистская концепция в философских основаниях математики получила развитие в таком направлении, как эффективизм, развиваемый Н.Н. Лузиным. Эффективизм представляет собой оппозицию к основным абстракциям учения множества Кантора о бесконечном - актуальности, выбора, трансфинитной индукции и др.

Для эффективизма гносеологически более ценными абстракциями является абстракция потенциальной осуществимости, чем абстракция актуальной бесконечности. Благодаря этому становится возможным введение понятия о трансфинитных ординалах (бесконечных порядковых числах) на основе эффективного понятия о росте функций. Гносеологическая установка эффективизма для отображения непрерывного (континуума) опиралась на дискретные средства (арифметики) и созданную Н.Н.Лузиным дескриптивную теорию множеств (функций). Интуиционизм голландца Л. Э. Я. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга в качестве традиционного объекта исследования видит свободно становящиеся последовательности различных видов. На этом этапе, решая собственно математические проблемы, в том числе о перестройке всей математики на новой основе, интуиционисты подняли философский вопрос о роли математика как познающего субъекта. Каково его положение, где он более свободен и активен в выборе средств познания? Интуиционисты первыми (и на этапе полуинтуиционизма) стали критиковать концепцию актуальной бесконечности, канторовскую теорию множеств, усмотрев в ней ущемление возможностей субъекта влиять на процесс научного поиска решения конструктивной задачи. В случае использования потенциальной бесконечности субъект себя не обманывает, так как для него идея потенциальной бесконечности интуитивно значительно яснее, чем идея актуальной бесконечности. Для интуициониста объект считается существующим, если он дан непосредственно математику или известен метод его построения, конструирования. Субъект в любом случае может приступить к процессу достраивания ряда элементов своего множества. Непостроенный объект для интуиционистов не существует. В то же время субъект, работающий с актуальной бесконечностью, будет лишен этой возможности и будет чувствовать двойную уязвимость принятой позиции:

1) никогда нельзя осуществить это бесконечное построение;
2) он принимает решение оперировать с актуальной бесконечностью как с конечным объектом и в этом случае теряет свою специфику понятия бесконечности. Интуиционизм сознательно ограничивает возможности математика тем, что тот может осуществлять построение математических объектов исключительно посредством таких средств, которые хотя и получаемы с помощью абстрактных понятий, но эффективны, убедительны, доказуемы, функционально конструктивны именно практически и сами интуитивно ясны как конструкции, построения, надежность которых на практике не вызывает никаких сомнений. Интуиционизм, опираясь на понятие потенциальной бесконечности и конструктивные методы исследования, имеет дело с математикой становления, теория множеств относится к математике бытия.

Для интуициониста Брауэра как представителя математического эмпиризма логика вторична, он критикует ее и закон исключённого третьего.

В своих отчасти мистических работах он не отрицает наличие бесконечности, однако не допускает её актуализации, лишь потенциализацию. Главное для него - интерпретация и обоснование практически используемых логических средств и математических рассуждений. Принятое интуиционистами ограничение преодолевает неопределенность использования понятия бесконечности в математике и выражает стремление преодолеть кризис в основании математики.

Ультраинтуиционизм (А.Н. Колмогоров, А.А.Марков и др.) - последняя стадия развития интуиционизма, на которой модернизируются, существенно дополняются и преобразуются основные его идеи, не изменяя его сущности, но преодолевая недостатки и усиливая позитивные стороны, руководствуясь критериями математической строгости. Слабостью подхода интуиционистов было узкое понимание роли интуиции как единственного источника обоснования правильности и эффективности математических методов. Принимая «интуитивную ясность» в качестве критерия истинности в математике, интуиционисты методологически обедняли возможности математика как субъекта познания, сводили его деятельность лишь к мыслительным операциям на основе интуиции и не включали практику в процесс математического познания. Ультраинтуиционистская программа обоснования математики является российским приоритетом. Поэтому отечественные математики, преодолевая ограниченность интуиционизма, принимали действенной методологию материалистической диалектики, признающей человеческую практику источником формирования как математических понятий, так и математических методов (умозаключений, построений). Проблему существования математических объектов ультраинтуиционисты решали, опираясь уже не на неопределяемое субъективное понятие интуиции, а на математическую практику и конкретный механизм построения математического объекта - алгоритм, выражаемый вычислимой, рекурсивной функцией.

Ультраинтуиционизм усиливает достоинства интуиционизма, заключающиеся в возможности упорядочивания и обобщения приемов решения конструктивных проблем, употребляемых математиками любого направления. Поэтому интуиционизм последней стадии (ультраинтуиционизм) близок конструктивизму в математике. В гносеологическом аспекте основные идеи и принципы ультраинтуиционизма таковы: критика классической аксиоматики логики; использование и значительное усиление (по явному указанию А.А. Маркова) роли абстракции отождествления (мысленного отвлечения от несходных свойств предметов и одновременного вычленения общих свойств предметов) как способа построения и конструктивного понимания абстрактных понятий, математических суждений; доказательство непротиворечивости непротиворечивых теорий. В формальном аспекте применение абстракции отождествления оправдывается тремя ее свойствами (аксиомами) равенства - рефлексивности, транзитивности и симметрии.

Для решения основного противоречия в математике по проблеме бесконечности, породившего кризис ее оснований, на этапе ультраинтуиционизма в работах А.Н. Колмогорова были предложены пути выхода из кризиса посредством решения проблемы отношений между классической и интуиционистской логикой, классической и интуиционистской математикой. Интуиционизм Брауэра в целом отрицал логику, но так как любой математик не может обойтись без логики, в интуиционизме все-таки сохранилась практика логических рассуждений, допускались некоторые принципы классической логики, имеющей в качестве своей базы аксиоматику. С.К. Клини, Р. Весли даже отмечают, что интуиционистскую математику можно описать в виде некоторого исчисления, а исчисление является способом организации математического знания на основах логики, формализации и ее формы - алгоритмизации. Новый вариант соотношения логики и математики в рамках интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений, особенно тех, которые включали отрицание, А.Н. Колмогоров предложил следующим образом: интуиционистскую логику, тесно связанную с интуиционистской математикой, он представил в форме аксиоматического импликативного минимального исчисления высказываний и предикатов. Тем самым ученый представил новую модель математического знания, преодолевающую ограниченность интуиционизма в признании лишь интуиции как средства познания и ограниченность логицизма, абсолютизирующего возможности логики в математике. Эта позиция позволила в математической форме продемонстрировать синтез интуитивного и логического как основы гибкой рациональности и ее конструктивной эффективности.

Выводы. Таким образом, эпистемологический аспект математического познания позволяет оценить революционные изменения на этапе кризиса оснований математики на рубеже XIX-XX вв. с новых позиций в понимании процесса познания, природы и роли субъекта в нем. Гносеологический субъект традиционной теории познания, соответствующий периоду господства теоретико-множественного подхода в математике, - это абстрактный, неполный, «частичный» субъект, представленный в субъектно-объектных отношениях, оторванный абстракциями, логикой, формализмом от действительности, рационально, теоретически познающий свой объект и понимаемый как зеркало, точно отражающее и копирующее действительность. По сути, субъект исключался из познания как реального процесса и результата взаимодействия с объектом. Выход интуиционизма на арену борьбы философских направлений в математике привел к новому пониманию математика как субъекта познания - человека познающего, философская абстракция которого должна быть выстроена как бы заново. Математик предстал как эмпирический субъект, понимаемый уже как целостный реальный человек, включающий все те свойства, от которых отвлекались в гносеологическом субъекте, - эмпирическую конкретность, изменчивость, историчность; это действующий и познающий в реальном познании, творческий, интуитивный, изобретательный субъект. Философия интуиционистской математики стала базой, фундаментом современной эпистемологической парадигмы, построенной на концепции гибкой рациональности, в которой человек - это цельный (целостный) субъект познания, обладающий новыми познавательными качествами, методами, процедурами; он синтезирует свою как абстрактно-гносеологическую и логико-методологическую природу и форму, так и одновременно получает экзистенциально-антропологическое и «историко-метафизическое» осмысление.

Важным моментом так же является интуиция в познании и, в частности, в образовании математических понятий. Опять же идёт борьба с философией, попытки исключить закон исключённого третьего, как не имеющий смысла в математике и пришедший в неё из философии. Однако же наличие излишнего акцента на интуицию и отстутствие чётких математических обоснований не позволили перевести математику на твёрдый фундамент.

Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстафету от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые раньше казались абсурдными) и математической теорией топосов. Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.

В качестве итога можно сделать утверждение: большинство из вышеуказанных парадоксов попросту не существуют в теории множеств с самопринадлежностью . Является ли подобный подход окончательным - спорный вопрос, дальнейшие работы в этой области покажут.

Заключение

Закончен ли третий кризис математики (потому как он находился в причинно-следственной связи с парадоксами; теперь же парадоксы - неотъемлемая часть) - тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например), отсутствие строгого обснования у континуального интеграла).

Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а так же целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г. Фреге). Но, возможно, одним из самых недооценённых явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963 году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения .

Литература

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481--512, 1895.
2. И.Н. Бурова. Парадоксы теории множеств и диалектика. Наука, 1976.
3. M.D. Potter. Set theory and its philosophy: a critical introduction. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Жуков Н.И. Философские основания математики. Мн.: Университетское, 1990.
5. Фейнман Р.Ф., С. Ильин. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!: похождения удивительного человека, поведанные им Р. Лейтону. КоЛибри, 2008.
6. О. М. Мижевич. Два способа преодоления парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Логико-философские штудии, (3):279--299, 2005.
7. С. И. Масалова. ФИЛОСОФИЯ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ МАТЕМАТИКИ. Вестник ДГТУ, (4), 2006.
8. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2012.
9. С. Н. Тронин. Краткий конспект лекций по дисциплине ""Философия математики"". Казань, 2012.
10. Гришин В.Н., Бочвар Д.А. Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. Наука, 1976.
11. Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Бахрах-М, 2001.
12. Кабаков Ф.А., Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Издательство «Наука», 1976.
13. Д.А. Бочвар. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. Математический сборник, 57(3):369--384, 1944.