17.12.2021

Основы механики для чайников. Введение


20-е изд. - М.: 2010.- 416 с.

В книге изложены основы механики материальной точки, системы материальных точек и твердого тела в объеме, соответствующем программам технических вузов. Приведено много примеров и задач, решения которых сопровождаются соответствующими методическими указаниями. Для студентов очных и заочных технических вузов.

Формат: pdf

Размер: 14 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к тринадцатому изданию 3
Введение 5
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава I. Основные понятия исходные положения статей 9
41. Абсолютно твердое тело; сила. Задачи статики 9
12. Исходные положения статики » 11
$ 3. Связи и их реакции 15
Глава II. Сложение сил. Система сходящихся сил 18
§4. Геометрически! Способ сложения сил. Равнодействующая сходящихся сил, разложение сил 18
f 5. Проекции силы на ось и на плоскость, Аналитический способ задания и сложения сил 20
16. Равновесие системы сходящихся сил_ . . . 23
17. Решение задач статики. 25
Глава III. Момент силы относительно центра. Пара сил 31
i 8. Момент силы относительно центра (или точки) 31
| 9. Пара сил. Момент пары 33
f 10*. Теоремы об эквивалентности и о сложении пар 35
Глава IV. Приведение системы сил к центру. Условия равновесия... 37
f 11. Теорема о параллельном переносе силы 37
112. Приведение системы сил к данному центру - . , 38
§ 13. Условия равновесия системы сил. Теорема о моменте равнодействующей 40
Глава V. Плоская система сил 41
§ 14. Алгебраические моменты силы и пары 41
115. Приведение плоской системы сил к простейшему виду.... 44
§ 16. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил. 46
§ 17. Решение задач 48
118. Равновесие систем тел 63
§ 19*. Статически определимые н статически неопределимые системы тел (конструкции) 56"
f 20*. Определение внутренних усилий. 57
§ 21*. Распределенные силы 58
Э22*. Расчет плоских ферм 61
Глава VI. Трение 64
! 23. Законы трения скольжения 64
: 24. Реакции шероховатых связей. Угол трения 66
: 25. Равновесие при наличии трения 66
(26*. Трение нити о цилиндрическую поверхность 69
1 27*. Трение качения 71
Глава VII. Пространственная система сил 72
§28. Момент силы относительно оси. Вычисление главного вектора
и главного момента системы сил 72
§ 29*. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду 77
§30. Равновесие произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил
Глава VIII. Центр тяжести 86
§31. Центр параллельных сил 86
§ 32. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела 88
§ 33. Координаты центров тяжести однородных тел 89
§ 34. Способы определения координат центров тяжести тел. 90
§ 35. Центры тяжести некоторых однородных тел 93
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава IX. Кинематика точки 95
§ 36. Введение в кинематику 95
§ 37. Способы задания движения точки. . 96
§38. Вектор скорости точки,. 99
§ 39. Вектор "ткорения точки 100
§40. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения 102
§41. Решение задач кинематики точки 103
§ 42. Оси естественного трехгранника. Числовое значение скорости 107
§ 43. Касательное и нормальное ускорения точки 108
§44. Некоторые частные случаи движения точки ПО
§45. Графики движения, скорости и ускорения точки 112
§ 46. Решение задач < 114
§47*. Скорость и ускорение точки в полярных координатах 116
Глава X. Поступательное и вращательное движения твердого тела. . 117
§48. Поступательное движение 117
§ 49. Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение 119
§50. Равномерное и равнопеременное вращения 121
§51. Скорости и ускорения точек вращающегося тела 122
Глава XI. Плоскопараллельное движение твердого тела 127
§52. Уравнения плоскопараллельного движения (движения плоской фигуры). Разложение движения на поступательное и вращательное 127
§53*. Определение траекторий точек плоской фигуры 129
§54. Определение скоростей точек плоской фигуры 130
§ 55. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела 131
§ 56. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Понятие о центроидах 132
§57. Решение задач 136
§58*. Определение ускорений точек плоской фигуры 140
§59*. Мгновенный центр ускорений "*«*
Глава XII*. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твердого тела 147
§ 60. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. 147
§61. Кинематические уравнения Эйлера 149
§62. Скорости и ускорения точек тела 150
§ 63. Общий случай движения свободного твердого тела 153
Глава XIII. Сложное движение точки 155
§ 64. Относительное, переносное и абсолютное движения 155
§ 65, Теорема о сложении скоростей » 156
§66. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолнса) 160
§67. Решение задач 16*
Глава XIV*. Сложное движение твердого тела 169
§68. Сложение поступательных движений 169
§69. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей 169
§70. Цилиндрические зубчатые передачи 172
§ 71. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей 174
§72. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение 176
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ДИНАМИКА ТОЧКИ
Глава XV: Введение в динамику. Законы динамики 180
§ 73. Основные понятия и определения 180
§ 74. Законы динамики. Задачи динамики материальной точки 181
§ 75. Системы единиц 183
§76. Основные виды сил 184
Глава XVI. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки 186
§ 77. Дифференциальные уравнения, движения материальной точки №6
§ 78. Решение первой задачи динамики (определение сил по заданному движению) 187
§ 79. Решение основной задачи динамики при прямолинейном движении точки 189
§ 80. Примеры решения задач 191
§81*. Падение тела в сопротивляющейся среде (в воздухе) 196
§82. Решение основной задачи динамики, при криволинейном движении точки 197
Глава XVII. Общие теоремы динамики точки 201
§83. Количество движения точки. Импульс силы 201
§ S4. Теорема об изменении количества движения точки 202
§ 85. Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов) " 204
§86*. Движение под действием центральной силы. Закон площадей.. 266
§ 8-7. Работа силы. Мощность 208
§88. Примеры вычисления работы 210
§89. Теорема об изменении кинетической энергии точки. ". . . 213J
Глава XVIII. Несвободное и относительнее движения точки 219
§90. Несвободное движение точки. 219
§91. Относительнбе движение точки 223
§ 92. Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел... 227
§ 93*. Отклонение падающей точки от вертикали вследствие вращения Земли " 230
Глава XIX. Прямолинейные колебания точки. . . 232
§ 94. Свободные колебания без учета сил сопротивления 232
§ 95. Свободные колебания при вязком сопротивлении (затухающие колебания) 238
§96. Вынужденные колебания. Резонаяс 241
Глава XX*. Движение тела в поле земного тяготения 250
§ 97. Движение брошенного тела в поле тяготения Земли " 250
§98. Искусственные спутники Земли. Эллиптические траектории. 254
§ 99. Понятие о невесомости."Местные системы отсчета 257
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Г я а в а XXI. Введение в динамику системы. Моменты инерции. 263
§ 100. Механическая система. Силы внешние ж внутренние 263
§ 101. Масса системы. Центр масс 264
§ 102. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции. . 265
$ 103. Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса 268
§ 104*. Центробежные моменты инерции. Понятия о главных осях инерции тела 269
$ 105*. Момент инерции тела относительно произвольной оси. 271
Глава XXII. Теорема о движении центра масс системы 273
$ 106. Дифференциальные уравнения движения системы 273
§ 107. Теорема о движении центра масс 274
$ 108. Закон сохранения движения центра масс 276
§ 109. Решение задач 277
Глава XXIII. Теорема об изменении количества движимая системы. . 280
$ НО. Количество движения системы 280
§111. Теорема об изменении количества движения 281
§ 112. Закон сохранения количества движения 282
$ 113*. Приложение теоремы к движению жидкости (газа) 284
§ 114*. Тело переменной массы. Движение ракеты 287
Гдава XXIV. Теорема об изменении момента количеств движения системы 290
§ 115. Главный момент количеств движения системы 290
$ 116. Теорема об изменения главного момента количеств движения системы (теорема моментов) 292
$117. Закон сохранения главного момента количеств движения. . 294
$ 118. Решение задач 295
$ 119*. Приложение теоремы моментов к движению жидкости (газа) 298
§ 120. Условия равновесия механической системы 300
Глава XXV. Теорема об изменении кинетической энергии системы. . 301.
§ 121. Кинетическая энергия системы 301
$122. Некоторые случаи вычисления работы 305
$ 123. Теорема об изменении кинетической энергии системы 307
$ 124. Решение задач 310
$ 125*. Смешанные задачи "314
$ 126. Потенциальное силовое поле и силовая функция 317
$ 127, Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии 320
Глава XXVI. "Приложение общих теорем к динамике твердого тела 323
$ 12&. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси ". 323"
$ 129. Физический маятник. Экспериментальное определение моментов инерции. 326
$130. Плоскопаралдедыюе движение твердого тела 328
$ 131*. Элементарная теория гироскопа 334
$ 132*. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твердого тела 340
Глава XXVII. Принцип Даламбера 344
$ 133. Принцип Даламбера для точки и механической системы. . 344
$ 134. Главный вектор и главный момент сил инерции 346
$ 135. Решение задач 348
$136*, Дидемяческне реакции, действующие на ось вращающегося тела. Уравновешшвяпне вращающихся тел 352
Глава XXVIII. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики 357
§ 137. Классификация связей 357
§ 138. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. . 358
§ 139. Принцип возможных перемещений 360
§ 140. Решение задач 362
§ 141. Общее уравнение динамики 367
Глава XXIX. Условия равновесия и уравнения движения системы в обобщенных координатах 369
§ 142. Обобщенные координаты и обобщенные скорости. . . 369
§ 143. Обобщенные силы 371
§ 144. Условия равновесия системы в обобщенных координатах 375
§ 145. Уравнения Лагранжа 376
§ 146. Решение задач 379
Глава XXX*. Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия 387
§ 147. Понятие об устойчивости равновесия 387
§ 148. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы 389
§ 149. Малые затухающие и вынужденные колебания системы с одной степенью свободы 392
§ 150. Малые сводные колебания системы с двумя степенями свободы 394
Глава XXXI. Элементарная теория удара 396
§ 151. Основное уравнение теории удара 396
§ 152. Общие теоремы теории удара 397
§ 153. Коэффициент восстановления при ударе 399
§ 154. Удар тела о неподвижную преграду 400
§ 155. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров) 401
§ 156. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе двух тел. Теорема Карно 403
§ 157*. Удар по вращающемуся телу. Центр удара 405
Предметный указатель 409

В рамках любого учебного курса изучение физики начинается с механики. Не с теоретической, не с прикладной и не вычислительной, а со старой доброй классической механики. Эту механику еще называют механикой Ньютона. По легенде, ученый гулял по саду, увидел, как падает яблоко, и именно это явление подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения. Конечно, закон существовал всегда, а Ньютон лишь придал ему понятную для людей форму, но его заслуга – бесценна. В данной статье мы не будем расписывать законы Ньютоновской механики максимально подробно, но изложим основы, базовые знания, определения и формулы, которые всегда могут сыграть Вам на руку.

Механика – раздел физики, наука, изучающая движение материальных тел и взаимодействия между ними.

Само слово имеет греческое происхождение и переводится как «искусство построения машин» . Но до построения машин нам еще как до Луны, поэтому пойдем по стопам наших предков, и будем изучать движение камней, брошенных под углом к горизонту, и яблок, падающих на головы с высоты h.


Почему изучение физики начинается именно с механики? Потому что это совершенно естественно, не с термодинамического же равновесия его начинать?!

Механика – одна из старейших наук, и исторически изучение физики началось именно с основ механики. Помещенные в рамки времени и пространства, люди, по сути, никак не могли начать с чего-то другого, при всем желании. Движущиеся тела – первое, на что мы обращаем свое внимание.

Что такое движение?

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Именно после этого определения мы совершенно естественно приходим к понятию системы отсчета. Изменение положения тел в пространстве относительно друг друга. Ключевые слова здесь: относительно друг друга . Ведь пассажир в машине движется относительно стоящего на обочине человека с определенной скоростью, и покоится относительно своего соседа на сиденье рядом, и движется с какой-то другой скоростью относительно пассажира в машине, которая их обгоняет.


Именно поэтому, для того, чтобы нормально измерять параметры движущихся объектов и не запутаться, нам нужна система отсчета - жестко связанные между собой тело отсчета, система координат и часов. Например, земля движется вокруг солнца в гелиоцентрической системе отсчета. В быту практически все свои измерения мы проводим в геоцентрической системе отсчета, связанной с Землей. Земля – тело отсчета, относительно которого движутся машины, самолеты, люди, животные.


Механика, как наука, имеет свою задачу. Задача механики – в любой момент времени знать положение тела в пространстве. Иными словами, механика строит математическое описание движения и находит связи между физическими величинами, его характеризующими.

Для того, чтобы двигаться далее, нам понадобится понятие “материальная точка ”. Говорят, физика – точная наука, но физикам известно, сколько приближений и допущений приходится делать, чтобы согласовать эту самую точность. Никто никогда не видел материальной точки и не нюхал идеального газа, но они есть! С ними просто гораздо легче жить.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого в контексте данной задачи можно пренебречь.

Разделы классической механики

Механика состоит из нескольких разделов

  • Кинематика
  • Динамика
  • Статика

Кинематика с физической точки зрения изучает, как именно тело движется. Другими словами, этот раздел занимается количественными характеристиками движения. Найти скорость, путь – типичные задачи кинематики

Динамика решает вопрос, почему оно движется именно так. То есть, рассматривает силы, действующие на тело.

Статика изучает равновесие тел под действием сил, то есть отвечает на вопрос: а почему оно вообще не падает?

Границы применимости классической механики

Классическая механика уже не претендует на статус науки, объясняющей все (в начале прошлого века все было совершенно иначе), и имеет четкие рамки применимости. Вообще, законы классической механики справедливы привычном нам по размеру мире (макромир). Они перестают работать в случае мира частиц, когда на смену классической приходит квантовая механика. Также классическая механика неприменима к случаям, когда движение тел происходит со скоростью, близкой к скорости света. В таких случаях ярко выраженными становятся релятивистские эффекты. Грубо говоря, в рамках квантовой и релятивистской механики – классическая механика, это частный случай, когда размеры тела велики, а скорость – мала.


Вообще говоря, квантовые и релятивистские эффекты никогда никуда не деваются, они имеют место быть и при обычном движении макроскопических тел со скоростью, много меньшей скорости света. Другое дело, что действие этих эффектов так мало, что не выходит за рамки самых точных измерений. Классическая механика, таким образом, никогда не потеряет своей фундаментальной важности.

Мы продолжим изучение физических основ механики в следующих статьях. Для лучшего понимания механики Вы всегда можете обратиться к нашим авторам , которые в индивидуальном порядке прольют свет на темное пятно самой сложной задачи.

Перечень экзаменационных вопросов

  1. Техническая механика, ее определение. Механическое движение и механическое взаимодействие. Материальная точка, механическая система, абсолютно твердое тело .

Техническая механика – наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел.

Механика является одной из самых древних наук. Термин «Механика» введен выдающимся философом древности Аристотелем.

Достижения ученых в области механики дают возможность решать сложные практические проблемы в области техники и по существу ни одно явление природы не может быть понято без уяснения его с механической стороны. И ни одно творение техники нельзя создать, не принимая в расчет те или иные механические закономерности.

Механическое движение – это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел или взаимного положения частей данного тела.

Механическое взаимодействие – это действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация).

Основные понятия:

Материальная точка – это тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Она обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами.

Механическая система – это совокупность материальных точек, положение и движение каждой из которых зависят от положения и движения других точек системы.

Абсолютно твердое тело (АТТ) – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.

  1. Теоретическая механика и ее разделы. Задачи теоретической механики.

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором изучаются законы движения тел и общие свойства этих движений.

Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.

Статика рассматривает равновесие тел и их систем под действием сил.

Кинематика рассматривает общие геометрические свойства движения тел.

Динамика изучает движение тел под действием сил.



Задачи статики:

1. Преобразование систем сил, действующих на АТТ в системы им эквивалентные, т.е. приведение данной системы сил к простейшему виду.

2. Определение условий равновесия системы сил, действующих на АТТ.

Для решения этих задач используется два метода графический и аналитический.

  1. Равновесие. Сила, система сил. Равнодействующая сила, сосредоточенная сила и распределенные силы.

Равновесие – это состояние покоя тела по отношению к другим телам.

Сила – это основная мера механического взаимодействия материальных тел. Является векторной величиной, т.е. Сила характеризуется тремя элементами:

Точкой приложения;

Линией действия (направлением);

Модулем (числовым значением).

Система сил – это совокупность всех сил действующих на рассматриваемое абсолютно твердое тело (АТТ)

Система сил называется сходящейся , если линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

Система называется плоской , если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, в противном случае пространственной.

Система сил называется параллельной , если линии действия всех сил параллельны друг другу.

Две системы сил называются эквивалентными , если одну систему сил действующих на абсолютно твердое тело можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела.

Уравновешенной или эквивалентной нулю называется система сил, под действием которой свободное АТТ может находится в покое.

Равнодействующей силой называется сила, действие которой на тело или материальную точку эквивалентно действию системы сил на это же тело.

Внешними силами

Сила, проложенная к телу в какой-либо одной его точке называется сосредоточенной .

Силы, действующие на все точки некоторого объема или поверхности называются распределенными .

Тело, которому никакие другие тела не препятствуют перемещению в любом направлении называется свободным.

  1. Внешние и внутренние силы. Свободное и несвободное тело. Принцип освобождаемости от связей.

Внешними силами называются силы, с которыми части данного тела действуют друг на друга.

При решении большинства задач статики требуется несвободное тело представить как свободное, что осуще­ствляется с помощью принципа освобожда­ем о с т и, который формулируется так:

всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, заменив их реакциями.

В результате применения этого принципа получается тело, свободное от связей и находящееся под действием некоторой системы активных и реактивных сил.

  1. Аксиомы статики.

Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводятся из нескольких основных положений, принимаемых без доказательств, но подтвержденных опытами, и называемых аксиомами статики. Основные ак­сиомы статики сформулированы английским ученым Нью­тоном (1642-1727), и поэтому они названы его именем.

Аксиома I (аксиома инерции или первый закон Нью­тона).

Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или пря­молинейного равномерного движения, пока какие-нибудь Силы не выведут его из этого состояния.

Способность тела сохранять свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения называется инерцией. На основании этой аксиомы состоянием равно­весия считаем такое состояние, когда тело находится в покое или движется прямолинейно и равномерно (т. е. ПО инерции).

Аксиома II (аксиома взаимодействия или третий закон Ньютона).

Если одно тело действует на второе с некоторой силой, то второе тело одновременно действует на первое с силой, равной по модулю, ко противоположной по направлению.

Совокупность сил, приложенных к данному телу (или системе тел), называется системой сил. Сила действия какого-либо тела на данное тело и сила противодействия данного тела не представляют собой систему сил, так как они приложены к различным телам.

Если какая-нибудь система сил обладает таким свой­ством, что после приложения к свободному телу она не изменяет его состояние равновесия, то такая система сил называется уравновешенной.

Аксиома III (условие равновесия двух сил).

Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали по одной прямой в противоположные стороны.

необходимым для равновесия двух сил. Это значит, что если система двух сил находится в равновесии, то эти силы должны быть равны по модулю и действовать по одной прямой в противоположные стороны.

Условие, сформулированное в этой аксиоме, является достаточным для равновесия двух сил. Это значит, что справедлива обратная формулировка аксиомы, а именно: если две силы равны по модулю и действуют по одной пря­мой в противоположные стороны, то такая система сил обязательно находится в равновесии.

В дальнейшем мы познакомимся с условием равновесия, которое будет необходимо, но не достаточно для равно­весия.

Аксиома IV .

Равновесие твердого тела не нарушится, если к нему приложить или удалить систему уравновешенных сил.

Следствие из аксиом III и IV .

Равновесие твердого тела не нарушится от перенесения силы вдоль линии ее действия.

Аксиома параллело­грамма. Эта аксиома формули­руется так:

Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах, и приложена в той же точке.

  1. Связи, реакции связей. Примеры связей.

Связями называются тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве. Сила, с которой тело дей­ствует на связь, называется давлением; сила, с которой связь действует на тело, называется реакцией. Согласно аксиоме взаимодействия реакция и давление по модулю равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Реакция и давление приложены к различным телам. Внешние силы, действующие на тело, делятся на ак­тивные и реактивные. Активные силы стремятся пере­мещать тело, к которому они приложены, а реактивные силыпосредством связей препятствуют этому перемеще­нию. Принципиальное отличие активных сил от реактив­ных заключается в том, что величина реактивных сил, во­обще говоря, зависит от величины активных сил, но не наоборот. Активные силы часто называют

Направление реакций определяется тем, в каком на­правлении данная связь препятствует, перемещению тела. Правило для определения направления реакций можно сформулировать так:

направление реакции связи противоположно направле­нию перемещения, уничтожаемого данной связью.

1. Идеально гладкая плоскость

В этом случае реакция R направлена перпендикулярно опорной плоскости в сторону тела.

2. Идеально гладкая поверхность (рис. 16).

В этом случае реакция R направлена перпендикулярно к касательной пло­скости t - t, т. е. по нормали к опорной поверхности в сторону тела.

3. Закрепленная точка или ребро угла (рис. 17, ребро В).

В этом случае реакция R в направлена по нормали к поверхности идеально-гладкого тела в сторону тела.

4. Гибкая связь (рис. 17).

Реакция Т гибкой связи направ­лена вдоль с в я з и . Из рис. 17 видно, что гибкая связь, перекинутая через блок, изменяет направление передаваемого усилия.

5. Идеально гладкий цилиндриче­ский шарнир (рис. 17, шарнир А; рис. 18, подшип­ник D).

В этом случае заранее известно только, что реакция R проходит через ось шарнира и перпендикулярна к этой оси.

6. Идеально гладкий подпятник (рис. 18, подпятник А).

Подпятник можно рассматривать как сочетание цилин­дрического шарнира и опорной плоскости. Поэтому будем

7. Идеально гладкий шаровой шарнир (рис. 19).

В этом случае заранее известно только, что реакция R проходит через центр шарнира.

8. Стержень, закрепленный двумя концами в идеально гладких шарни­рах и нагруженный только по концам (рис. 18, стержень ВС).

В этом случае реакция стержня направ­лена вдоль стержня, так как, согласно акси­оме III, реакции шарниров В и С при равновесии стержня могут быть направлены только по линии ВС, т. е. вдоль стержня.

  1. Система сходящихся сил. Сложение сил, приложенных в одной точке.

Сходящимися называют силы, линии действия ко­торых пересекаются в одной точке.

В настоящей главе рассматриваются системы сходящихся сил, линии действия которых лежат в одной плоскости (плоские системы).

Представим, что на тело действует плоская система пяти сил, линии действия которых пересекаются в точке О (рис. 10, а). В § 2 было установлено, что сила-скользя­щий вектор . Поэтому все силы можно из точек их при­ложения перенести точку О пересечения линий их действия (рис. 10, б).

Таким образом, любую систему сходящихся сил, приложенных к различным точкам тела, можно заменить эквивалентной системой сил, приложенных к одной точке. Такую систему сил часто называют пучком сил .

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

    Основные понятия и законы статики
  • Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
  • Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
  • Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
  • Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
  • Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
  • Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
  • Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
  • Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
  • Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
    Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
  • Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
  • Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
  • Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
    Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
    Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
  • Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
  • Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
  • Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
  • Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
  • Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
  • Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
  • Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
  • Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
    Принятое обозначение: .
  • Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
  • Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
    .
  • Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
    .
  • Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
  • Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
    Принятое обозначение: .
    Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
  • Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
    Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
  • Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
  • Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
    Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
  • Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
    Эти две силы называются уравновешивающимися.
    Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
  • Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
    Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
    Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
  • Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
    диагонали.
    По модулю равнодействующая равна:
  • Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
    Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
  • Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
    Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
  • Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.
    Связи и их реакции
  • Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
  • Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
  • Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
  • Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
  • Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

    Основные понятия кинематики
  • Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
  • Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
  • Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
  • Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).
    Определение кинематических характеристик точки
  • Траектория точки
    В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
    В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
    В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
  • Определение скорости точки в векторной системе координат
    При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
    Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
    Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
    Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
    Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
  • Определение скорости точки в координатной системе отсчета
    Скорости изменения координат точки:
    .
    Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
    .
    Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
    ,
    где — углы между вектором скорости и осями координат.
  • Определение скорости точки в естественной системе отсчета
    Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
    Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .
    Кинематика твердого тела
  • В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
    1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
    2) определение кинематических характеристик точек тела.
  • Поступательное движение твердого тела
    Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
    Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
    Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
  • Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
    Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
    Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит радиана.)
    Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
    Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
    угловая скорость, рад/с;
    — угловое ускорение, рад/с².
    Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
    Модуль линейной скорости:
    .
    Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
    ,
    где .
    В итоге, получаем формулы
    тангенциальное ускорение: ;
    нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

    Основные понятия динамики
  • Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
  • Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
  • Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
  • Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:

    где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
    В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
  • Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
    Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
    .
    Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
  • Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
  • Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
    где — ускорение центра масс тела.
  • Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
    .
    Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
    .
  • Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои
Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил, а также методы преобразования сил в эквивалентные системы.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.

Сила , действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек - это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
,
где m - масса точки - величина, зависящая от свойств самой точки. Эта формула называется вторым законом Ньютона.

Применение статики в динамике

Важной особенностью уравнений движения абсолютно твердого тела является то, что силы можно преобразовывать в эквивалентные системы. При таком преобразовании уравнения движения сохраняют свой вид, но систему сил, действующую на тело можно преобразовать в более простую систему. Так, точку приложения силы можно перемещать вдоль линии ее действия; силы можно раскладывать по правилу параллелограмма; силы, приложенные в одной точке можно заменять их геометрической суммой.

Примером таких преобразований является сила тяжести. Она действует на все точки твердого тела. Но закон движения тела не изменится, если распределенную по всем точкам силу тяжести заменить одним вектором, приложенным в центре масс тела.

Оказывается, что если мы к основной системе сил, действующих на тело, добавим эквивалентную систему, в которой направления сил изменены на противоположные, то тело, под действием этих систем, будет находиться в равновесии. Таким образом, задача по определению эквивалентных систем сил сводится к задаче на равновесие, то есть к задаче статики.

Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Таким образом, методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.

Статика материальной точки

Рассмотрим материальную точку, которая находится в равновесии. И пусть на нее действуют n сил , k = 1, 2, ..., n .

Если материальная точка находится в равновесии, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:
(1) .

В равновесии геометрическая сумма сил, действующих на точку, равна нулю.

Геометрическая интерпретация . Если в конец первого вектора поместить начало второго вектора , а в конец второго вектора поместить начало третьего , и далее продолжать этот процесс, то конец последнего, n -го вектора окажется совмещенным с началом первого вектора. То есть мы получим замкнутую геометрическую фигуру, длины сторон которой равны модулям векторов . Если все векторы лежат в одной плоскости, то мы получим замкнутый многоугольник.

Часто бывает удобным выбрать прямоугольную систему координат Oxyz . Тогда суммы проекций всех векторов сил на оси координат равны нулю:

Если выбрать любое направление, задаваемое некоторым вектором , то сумма проекций векторов сил на это направление равна нулю:
.
Умножим уравнение (1) скалярно на вектор :
.
Здесь - скалярное произведение векторов и .
Заметим, что проекция вектора на направление вектора определяется по формуле:
.

Статика твердого тела

Момент силы относительно точки

Определение момента силы

Моментом силы , приложенной к телу в точке A , относительно неподвижного центра O , называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2) .

Геометрическая интерпретация

Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы и расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Абсолютное значение момента:
.
Поскольку , то
(3) .

Используя геометрию, можно дать другую интерпретацию момента силы. Для этого проведем прямую AH через вектор силы . Из цента O опустим перпендикуляр OH на эту прямую. Длину этого перпендикуляра называют плечом силы . Тогда
(4) .
Поскольку , то формулы (3) и (4) эквивалентны.

Таким образом, абсолютное значение момента силы относительно центра O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранного центра O .

При вычислении момента часто бывает удобным разложить силу на две составляющие:
,
где . Сила проходит через точку O . Поэтому ее момент равен нулю. Тогда
.
Абсолютное значение момента:
.

Компоненты момента в прямоугольной системе координат

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O , то момент силы будет иметь следующие компоненты:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Здесь - координаты точки A в выбранной системе координат:
.
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O , от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.

Пара сил

Пара сил - это две силы, равные по абсолютной величине и имеющие противоположные направления, приложенные к разным точкам тела.

Пара сил характеризуется моментом , который они создают. Поскольку векторная сумма сил, входящих в пару равна нулю, то создаваемый парой момент не зависит от точки, относительно которой вычисляется момент. С точки зрения статического равновесия, природа сил, входящих в пару, не имеет значения. Пару сил используют для того, чтобы указать, что на тело действует момент сил, имеющий определенное значение .

Момент силы относительно заданной оси

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Моментом силы относительно оси, проходящей через точку O - это проекция вектора момента силы, относительно точки O , на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось равен нулю.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Вычисление момента силы относительно оси

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′ .

Построим прямоугольную систему координат. Пусть ось Oz совпадает с O′O′′ . Из точки A опустим перпендикуляр OH на O′O′′ . Через точки O и A проводим ось Ox . Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy . Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′ . Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′ . Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (5.3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O . Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия твердого тела

В равновесии векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю и векторная сумма моментов этих сил относительно произвольного неподвижного центра равна нулю:
(6.1) ;
(6.2) .

Подчеркнем, что центр O , относительно которого вычисляются моменты сил можно выбирать произвольным образом. Точка O может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр O выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми.

Условия равновесия можно сформулировать и другим способом.

В равновесии сумма проекций сил на любое направление, задаваемое произвольным вектором , равна нулю:
.
Также равна нулю сумма моментов сил относительно произвольной оси O′O′′ :
.

Иногда такие условия оказываются более удобными. Бывают случаи, когда за счет выбора осей, можно сделать вычисления более простыми.

Центр тяжести тела

Рассмотрим одну из важнейших сил - силу тяжести. Здесь силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его объему. На каждый участок тела с бесконечно малым объемом Δ V , действует сила тяготения . Здесь ρ - плотность вещества тела, - ускорение свободного падения.

Пусть - масса бесконечно малого участка тела. И пусть точка A k определяет положение этого участка. Найдем величины, относящиеся к силе тяжести, которые входят в уравнения равновесия (6).

Найдем сумму сил тяжести, образованную всеми участками тела:
,
где - масса тела. Таким образом, сумму сил тяжести отдельных бесконечно малых участков тела можно заменить одним вектором силы тяжести всего тела:
.

Найдем сумму моментов сил тяжести, относительно произвольным способом выбранного центра O :

.
Здесь мы ввели точку C , которая называется центром тяжести тела. Положение центра тяжести, в системе координат с центром в точке O , определяется по формуле:
(7) .

Итак, при определении статического равновесия, сумму сил тяжести отдельных участков тела можно заменить равнодействующей
,
приложенной к центру масс тела C , положение которого определяется формулой (7).

Положение центра тяжести для различных геометрических фигур можно найти в соответствующих справочниках. Если тело имеет ось или плоскость симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или плоскости. Так, центры тяжести сферы, окружности или круга находятся в центрах окружностей этих фигур. Центры тяжести прямоугольного параллелепипеда, прямоугольника или квадрата также расположены в их центрах - в точках пересечения диагоналей.

Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Также встречаются подобные силе тяжести случаи, когда силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или .

(рисунок А). Также, как и в случае с силой тяжести, ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку на рисунке А эпюра представляет собой прямоугольник, то центр тяжести эпюры находится в ее центре - точке C : | AC| = | CB| .

(рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h , находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Силы трения

Трение скольжения . Пусть тело находится на плоской поверхности. И пусть - сила, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело (сила давления). Тогда сила трения скольжения параллельна поверхности и направлена в сторону, препятствуя движению тела. Ее наибольшая величина равна:
,
где f - коэффициент трения. Коэффициент трения является безразмерной величиной.

Трение качения . Пусть тело округлой формы катится или может катиться по поверхности. И пусть - сила давления, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело. Тогда на тело, в точке соприкосновения с поверхностью, действует момент сил трения, препятствующий движению тела. Наибольшая величина момента трения равна:
,
где δ - коэффициент трения качения. Он имеет размерность длины.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.