Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно точек A и B . Предположим, что A 1 имеет координату x 1 , а B 1 – координату x 2 на оси l .

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x 1 – x 2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x 2 > x 1 , и проекция x 2 – x 1 > 0; если этот угол тупой, то x 2 < x 1 и проекция x 2 – x 1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l , то x 2 = x 1 и x 2 – x 1 =0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A 1 B 1 , взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций .

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми , если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми .

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство :

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство .

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x , y , z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство .

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M . Введём понятие координаты точки M . Вектор , соединяющий начало координат с точкой M . называется радиус-вектором точки M .

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M . называются координатами точки M . в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .

A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .

Определение 1

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .

Пример 1

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости О х у задается точка M 1 (x 1 , y 1) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов (x 1 , 0) и (0 , y 1) .

Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → - нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Определение 2

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → - n p b → a → .

Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ - угол между векторами a → и b → .

Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.

Пример 2

Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Ответ: 4.

При известном cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Определение 3

Числовой проекцией вектора a → на ось, совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.

Пример 3

Задан b → = (- 3 , 4) . Найти числовую проекцию a → = (1 , 7) на L .

Решение

На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = (a x , a y) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Ответ: 5.

Пример 4

Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = - 2 , 3 , 1 и b → = (3 , - 2 , 6) . Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = (- 2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Ответ: - 6 7 .

Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:

Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , следует n p b → a → = a → · cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Определение 4

Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:

• длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ (a → , b →) ^ < 90 ° ;
• ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда (a → , b → ^) = 90 ° ;
• длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = - n p b → a → → с условием 90 ° < a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Пример 5

Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 < 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Ответ: - 2 .

Пример 6

Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = (- 2 , 1 , 2) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Ответ: (- 6 , 3 , 6) .

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Скалярные и векторные величины

Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, такие как температура, объем, масса тела, плотность и т.д., определяются только числовым значением. Такие величины называются скалярными величинами, или скалярами .

Для определения же некоторых других величин, таких как сила, скорость, ускорение и тому подобных, кроме числовых значений необходимо задать еще и их направление в пространстве. Величины, которые кроме абсолютной величины характеризуются еще и направлением, называются векторными.

Определение Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками: первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.

На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.

Если начало вектора совпадает с точкой , а конец с точкой, то вектор обозначается
. Кроме этого, часто векторы обозначают одной маленькой буквой со стрелкой над ней. В книжках иногда стрелку опускают, тогда для обозначения вектора употребляют жирный шрифт.

К векторам относится нулевой вектор , у которого начало и конец совпадают. Он обозначается или просто.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем . Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева:
, или без стрелочек
или.

Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными .

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.

Определение Два вектора
и
называются равными (рис. 2.2), если они:
1)коллинеарны ; 2) сонаправлены 3) равны по длине.

Это записывают так:
(2.1)

Из определения равенства векторов вытекает, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный начальному, потому начало вектора можно разместить в любую точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике, геометрии), начало которых можно размещать в любой точке пространства, называют свободными . И именно такие векторы мы будем рассматривать.

Определение Система векторов
называется линейно зависимой, если существуют такие постоянные
, среди которых есть хотя бы одна отличная от нуля, и для которых выполняется равенство.

Определение Базисом в пространстве называются произвольные три некомпланарных вектора, которые взяты в определенной последовательности .

Определение Если
- базис и вектор, то числа
называются координатами векторав данном базисе.

Координаты вектора будем писать в фигурных скобках после обозначения вектора. Так, например,
означает, что векторв некотором выбранном базисе имеет разложение:
.

Из свойств умножения вектора на число и сложения векторов вытекает утверждение относительно линейных действий над векторами, которые заданы координатами.

Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим их.

Определение Произведением вектора на число
называется вектор, совпадающий по направлению с вектором, если
, имеющий противоположное направление, если
отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины векторана модуль числа
.

Пример . Построить вектор
, если
и
(рис. 2.3).

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число .

Действительно, если , то

Произведением вектора на
называется вектор
;
- противоположено направленный.

Отметим, что вектор, длина которого равна 1, называется единичным (или ортом ).

Пользуясь операцией умножения вектора на число, любой вектор можно выразить через единичный вектор того же направления. Действительно, поделив вектор на его длину(т.е. умноживна), получим единичный вектор того же направления, что и вектор. Его будем обозначать
. Отсюда следует, что
.

Определение Суммой двух векторов иназывается вектор, который выходит из их общего начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторыи(рис. 2.4).

.

По определению равных векторов
поэтому
-правило треугольника . Правило треугольника можно распространить на любое количество векторов и таким образом получить правило многоугольника:
- это вектор, который соединяет начало первого векторас концом последнего вектора(рис. 2.5).

Итак, для того чтобы построить вектор суммы, надо к концу первого вектора пристроить начало второго, к концу второго пристроить начало третьего и так далее. Тогда вектором суммы и будет вектор, который соединяет начало первого из векторов с концом последнего .

При сложении векторов складываются и их соответствующие координаты

Действительно, если и
,

Если векторы
ине компланарны, то их сумма является диагональю
параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2.6)

,

где

Свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- дистрибутивность по отношению к умножению на число

.

Т.е. векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую.

Определение Разностью двух векторов иназывают такой вектор, который при сложении с векторомдает вектор. Т.е.
если
. Геометрическипредставляет собой вторую диагональ параллелограмма, построенного на векторахис общим началом и направленную из конца векторав конец вектора(рис. 2.7).

Проекция вектора на ось. Свойства проекций

Вспомним понятие числовой оси. Числовой осью называют прямую, на которой определено:

направление (→);

начало отсчета (точка О);

отрезок, который принимают за единицу масштаба.

Пусть имеется вектор
и ось. Из точекиопустим перпендикуляры на ось. Получим точкии- проекции точеки(рис. 2.8 а).

Определение Проекцией вектора
на осьназывается длина отрезка
этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора
на ось. Она берется со знаком плюс, если направление отрезка
совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение:
.

Определение Углом между вектором
и осьюназывается угол, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось, чтобы она совпадала с направлением вектора
.

Найдем
:

На рис.2.8 а представлена:
.

На рис. 2.8 б) : .

Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью проекций:
.

Свойства проекций :

Если
, то векторы называются ортогональными

Пример . Заданы векторы
,
.Тогда

.

Пример. Если начало вектора
находится в точке
, а конец в точке
, то вектор
имеет координаты:

Определение Углом между двумя векторами иназывается наименьший угол
(рис. 2.13) между этими векторами, сведенными в общее начало.

Угол между векторами исимволически записывают таким образом:.

Из определения следует, что угол между векторами может изменяться в пределах
.

Если
, то векторы называются ортогональными.

.

Определение. Косинусы углов вектора с осями координат называются направляющими косинусами вектора. Если вектор
образует с осями координат углы

.

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая опреде­ляется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:

Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным напра­влением оси х острый угол .

Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх ; получаем

1. F x = F cos α

Проекция вектора в данном случае положительна

Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.

Тогда F x = F cos α, но так как α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.

Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх .

Проекция силы F на ось х равна нулю

F x = F cos 90° = 0.

Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу .

Силу F можно разложить на составляющие: F x и F y . Модуль вектора F x равен проекции вектора F на ось ox , а модуль вектора F y равен проекции вектора F на ось oy .

Из ΔОАВ : F x =F cos α, F x =F sin α.

Из ΔОАС : F x =F cos φ, F x =F sin φ.

Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:

Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Рассмотрим сходящиеся силы F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника

Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.

Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем

F = F 1x +F 2x +F 3x + F 4x

где n - число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.

В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

§ 3. Проекции вектора на оси координат

1. Нахождение проекций геометрически.

Вектор
- проекция вектора на ось OX
- проекция вектора на ось OY

Определение 1. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется взятое со знаком "плюс" или "минус" число, соответствующее длине отрезка, расположенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на ось координат.

Знак проекции определяется так. Если при движении вдоль оси координат происходит перемещение от точки проекции начала вектора к точке проекции конца вектора в положительном направлении оси, то проекция вектора считается положительной. Если же - противоположно оси, то проекция считается отрицательной.

По рисунку видно, что если вектор ориентирован как-то противоположно оси координат, то его проекция на эту ось отрицательна. Если вектор ориентирован как-то в положительном направлении оси координат, то его проекция на эту ось положительна.

Если вектор перпендикулярен оси координат, то его проекция на эту ось равна нулю.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция на эту ось равна модулю вектора.
Если вектор противоположно направлен оси координат, то его проекция на эту ось по абсолютной величине равна модулю вектора, взятому со знаком минус.

2. Наиболее общее определение проекции.

Из прямоугольного треугольника ABD : .

Определение 2. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется число, равное произведению модуля вектора и косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси координат.

Знак проекции определяется знаком косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси.
Если угол острый, то косинус имеет положительный знак, и проекции - положительны. Для тупых углов косинус имеет отрицательный знак, поэтому в таких случаях проекции на ось отрицательны.
- поэтому для векторов, перпендикулярных к оси, проекция равна нулю.