Дата: 10.05.2015
Как найти производную?
Правила дифференцирования.
Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:
2. Правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
Именно в таком порядке. Это намёк.)
Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных - доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.
Дифференцирование - это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения "найти производную функции" и "продифференцировать функцию" - это одно и то же.
Выражение "правила дифференцирования" относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.
Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:
В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 - это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.
Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).
Рассмотрим несколько примеров. Сначала - самые простые.
Найти производную функции y=sinx - x 2
Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx - это функция U , а x 2 - функция V. Имеем полное право написать:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.
А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:
Найти производную функции y=sinx - x 2 +cosx - x +3
Смело пишем:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3 )"
В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)
Практические советы:
1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.
2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.
3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Дата: 20.11.2014
Что такое производная?
Таблица производных.
Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.
Это знакомство позволит:
Понимать суть несложных заданий с производной;
Успешно решать эти самые несложные задания;
Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.
Сначала - приятный сюрприз.)
Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!
Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.
Приступим к знакомству?)
Термины и обозначения.
В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.
Здесь же важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.
Дифференцирование - действие над функцией.
Производная - результат этого действия.
Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.
Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.
Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y" или f"(x) или S"(t) и так далее.
Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли...)
Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)" , (x 3 )" , (sinx)" и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.
Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего - научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.
Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:
1. Таблица производных (формулы дифференцирования).
3. Производная сложной функции.
Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.
Таблица производных.
В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе - линейная, квадратичная, гипербола и т.п.
Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. А математики - тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)
Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.
| Функция y |
Производная функции y y" |
|
| 1 | C (постоянная величина) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - любое число) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x (a = e ) |
Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)
Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...
Рассмотрим несколько примеров:
1. Найти производную функции y = x 3
Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:
(x 3) " = 3·x 3-1 = 3x 2
Вот и все дела.
Ответ: y" = 3x 2
2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.
Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.
По табличке находим синус и соответствующую производную:
y" = (sin x)" = cosx
Подставляем ноль в производную:
y"(0) = cos 0 = 1
Это и будет ответ.
3. Продифференцировать функцию:
Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.
Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...
Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!
Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:
Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это - табличная функция. Сразу получаем:
Ответ: y" = - sin x .
Пример для продвинутых выпускников и студентов:
4. Найти производную функции:
Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:
А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:
Вот и всё. Это будет ответ.
Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения
производнойфункции в точке. Возьмем ,
где x
–
любое действительное число, то есть, x
–
любое число из области определения
функции .
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .
Производная степенной функции.
Формула
производной степенной функции имеет
вид 
,
где показатель степени p
–
любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем
пользоваться определением производной.
Запишем предел отношения приращения
степенной функции к приращению
аргумента:
Для
упрощения выражения в числителе обратимся
к формуле бинома
Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним
подстановку в исходный предел:
Если
вспомнить второй
замечательный предел, то придем к
формуле производной показательной
функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех x
из
области определения и всех допустимых
значениях основания a
логарифма.
По определению производной имеем:
Как
Вы заметили, при доказательстве
преобразования проводились с использованием
свойств логарифма. Равенство 
справедливо
в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По
определению производной для функции
синуса имеем 
.
Воспользуемся
формулой разности синусов:
Осталось
обратиться к первому замечательному
пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x .
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса.
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Производная обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть
функции y
= f(x)
и x
= g(y)
взаимно
обратные, определенные на
интервалах и соответственно.
Если в точке существует
конечная отличная от нуля производная
функции f(x)
,
то в точке существует
конечная производная обратной
функции g(y)
,
причем 
.
В другой записи 
.
Можно
это правило переформулировать для
любого x
из
промежутка ,
тогда получим 
.
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем
обратную функцию для натурального
логарифма 
(здесь y
–
функция, а x
-
аргумент). Разрешив это уравнение
относительно x
,
получим (здесь x
–
функция, а y
–
ее аргумент). То есть, 
и взаимно
обратные функции.
Из таблицы
производных видим,
что 
и 
.
Убедимся,
что формулы нахождения производных
обратной функции приводят нас к этим
же результатам:
