Самостоятельная работа по теме «Показательная функция». Самостоятельная работа содержит 2 варианта по три заданий в каждом. Тексты самостоятельной работы разбиты по трем уровням сложности. Каждая задача варианта соответствует своему уровню сложности. Создана самостоятельная работа в текстовом редакторе Microsoft Word. Для удобства приведены правильные ответы.

Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа "Показательная функция"»

Республика Беларусь

Государственное учреждение образования «Лицей г. Новополоцка»

Самостоятельная работа по математике, раздел алгебра

Тема: Показательная функция

Подготовила: Коновалёнок

Ольга Владимировна,

учитель математики высшей

Вариант 1

1. Сравните:

1) и

2)
и

а) значение а;

б) область определения;

Вариант 2

1. Сравните:

1) и

2)
и

2. На рисунке изображен график функции, заданной формулой
на множестве D. Укажите для нее:

а) значение а;

б) область определения;

в) множество (область) значений;

г) промежутки возрастании (убывания);

д) координаты точек пересечения графика с осью Оу;

е) значение в точках х1= -1 и х2= 1;

ж) наибольшее и наименьшее значения.

3. Укажите естественную область определения выражения (а1):

Вариант 1

1. 1) ; 2)

y=3 x

Степенная функция

y

x

y=x 2

y=x 4

y

x

y=x 3

y=x 5

Решить самостоятельно.

Задание. Построить графики функций: y = ; y = ; y = -1

Форма контроля : проверка конспекта и устный опрос.

Самостоятельная работа № 13

Тема 4.3. Логарифмическая функция. Свойства и график.

Самостоятельная работа (2 часа)

· изучить свойства логарифмической функции.

· построение графиков логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция y= , (х ) называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция y= является обратной по отношению к показательной функции у = (х ) . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

y

x

y=log 2 x

y=log 0,4 x

y=log 4 x

y

x

a>1

a<1

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: D(y) =R + .

2) Область значений функции: E(y) =R.

3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: =0, =0, .

4) Функция y= , возрастает в промежутке (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5) Функцияy= , (х , убывают в промежутке . При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших единицы, отрицательны.

4. Найти область определения функции: y=

Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на :

Так как основание логарифма8 >1 , то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе: т.е.

Последняя система равносильна неравенству: ,

которое решается методом интервалов (причем x≠3, и x ≠ 1). С помощью рис. 9 получаем ответ:[-1;1) (3;5].

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение логарифмической функции.

2. Какие область определения и область значения функции у = log a x?

3. В каком случае функция у = log a x является возрастающей, в каком убывающей?

4. При каких значениях x функции у = log a x принимает положительные значения, при каких отрицательные?

Тест для самопроверки. (Варианты ответов: да нет)

1. Логарифмическая функция у = log a x определена при любом х

2. Функция у = log a x определена при а > 0, а =/= 1, х > 0.

3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.

4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.

5. Логарифмическая функция – четная.

6. Логарифмическая функция – нечетная.

7. Функция у = log a x – возрастающая при а >1.

8. Функция у = log a x при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая.

9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).

10. График функции у = log a x пересекается с осью ОХ.

11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.

12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.

13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).

14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.

15. Существует логарифм отрицательного числа.

16. Существует логарифм дробного положительного числа.

17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).

Самостоятельная работа №14

Свойства показательной функции		y = , 0< a < 1
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, > 1	при x > 0, 0< < 1
при x < 0, 0< < 1	при x < 0, > 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5. Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7. Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях x и y;

Примеры:

Пример № 1. (Для нахождения области определения функции). Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

Пример № 2. (Для нахождения области значений функции). На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Пример № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей). Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Пример № 4. (Для исследования функции на монотонность). Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Пример № 5. (Для исследования функции на монотонность). Сделайте заключение относительно основания a, если:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Таблица. Вывод:

Таблица. Вывод:

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Заключение

В данной курсовой работе по теме «Показательная функция» мною были рассмотрены ее понятие, основные свойства и графики.

Тема показательной функции, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.

В работе были приведены примеры и задания, разные по сложности и по содержанию.

Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики преподавания математики и может быть использована как наглядное пособие для студентов дневного и заочного отделений.

Урок № 2

Тема: Показательная функция, её свойства и график.

Цель: Проверить качество усвоения понятия «показательная функция»; сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции; обеспечить рабочую обстановку на уроке.

Оборудование: доска, плакаты

Форма урока : классно-урочная

Вид урока : практическое занятие

Тип урока : урок обучения умениям и навыкам

План урока

1. Организационный момент

2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания

3. Решение задач

4. Подведение итогов

5. Задание на дом

Ход урока .

1. Организационный момент :

Здравствуйте. Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока «Показательная функция». Сегодня будем продолжать изучать показательную функцию, её свойства и график.

2. Самостоятельная работа и проверка домашнего задания .

Цель: проверить качество усвоения понятия «показательная функция» и проверить выполнение теоретической части домашнего задания

Метод: тестовое задание, фронтальный опрос

В качестве домашнего задания вам были заданы номера из задачника и параграф из учебника. Выполнение номеров из учебника проверять сейчас не будем, но вы сдадите тетради в конце урока. Сейчас же будет проведена проверка теории в виде маленького теста. Задание у всех одинаковое: вам дан перечень функций, вы должны узнать какие из них являются показательными (подчеркнуть их). И рядом с показательной функцией необходимо написать является она возрастающей, либо убывающей.

Вариант 1 Ответ Б) Д) - показательная, убывающая	Вариант 2 Ответ Г) - показательная, убывающая Д) - показательная, возрастающая
Вариант 3 Ответ А) - показательная, возрастающая Б) - показательная, убывающая	Вариант 4 Ответ А) - показательная, убывающая В) - показательная, возрастающая

Теперь вместе вспомним, какая функция называется показательной?

Функция вида , где и , называется показательной функцией.

Какая область определения у этой функции?

Все действительные числа.

Какая область значений показательной функции?

Все положительные действительные числа.

Убывает если основание степени больше нуля, но меньше единицы.

В каком случае показательная функция убывает на своей области определения?

Возрастает, если основание степени больше единицы.

3. Решение задач

Цель : сформировать умения и навыки по распознаванию показательной функции, по использованию её свойств и графиков, научить учащихся пользоваться аналитической и графической формами записи показательной функции

Метод : демонстрация учителем решения типичных задач, устная работа, работа у доски, работа в тетради, беседа учителя с учащимися.

Свойства показательной функции можно использовать при сравнении 2-х и более чисел. Например: № 000. Сравните значения и , если а) ..gif" width="37" height="20 src=">, то это довольно сложная работа: нам бы пришлось извлекать кубический корень из 3 и из 9, и сравнивать их. Но мы знаем, что возрастает, это в свою очередь значит, что при увеличении аргумента, увеличивается значение функции, то есть нам достаточно сравнить между собой значения аргумента и , очевидно, что (можно продемонстрировать на плакате с изображенной возрастающей показательной функцией). И всегда при решении таких примеров вначале определяете основание показательной функции, сравниваете с 1, определяете монотонность и переходите к сравнению аргументов. В случает убывания функции: при возрастания аргумента уменьшается значение функции, следовательно, знак неравенства меняем при переходе от неравенства аргументов к неравенству функций. Далее решаем устно: б)

-

В)

-

Г)

-

- № 000. Сравните числа: а) и

Следовательно, функция возрастает, тогда

Почему ?

Возрастающая функция и

Следовательно, функция убывает, тогда

Обе функции возрастают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени большим единицы.

Какой смысл в ней заложен?

Строим графики:

Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

Г) , https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Вначале выясним область определения этих функций. Совпадают ли они?

Да, область определения этих функций все действительные числа.

Назовите область значения каждой из этих функций.

Области значений этих функций совпадают: все положительные действительные числа.

Определите тип монотонности каждой из функций.

Все три функции убывают на всей своей области определения, т. к. они являются показательными с основанием степени меньшими единицы и большими нуля.

Какая особая точка существует у графика показательной функции?

Какой смысл в ней заложен?

Какое бы не было основание степени показательной функции, если в показателе стоит 0,то значение этой функции 1.

Строим графики:

Давайте проанализируем графики. Сколько точек пересечения у графиков функций?

Какая функция быстрее убывает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Какая функция быстрее возрастает, при стремлении https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

На промежутке какая из функций имеет большее значение в конкретно заданной точке?

Почему показательные функции с разными основаниями имеют только одну точку пересечения?

Показательные функции являются строго монотонными на всей своей области определения, поэтому они могут пересекаться только в одной точке.

Следующее задание будет направлено на использование этого свойства. № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) . Вспомним, что строго монотонная функция принимает свои наименьшее и наибольшее значения на концах заданного отрезка. И если функция возрастающая, то её наибольшее значение будет на правом конце отрезка, а наименьшее на левом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Если функция убывающая, то её наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее на правом конце отрезка (демонстрация на плакате, на примере показательной функции). Функция возрастающая, т. к. , следовательно, наименьшее значение функции будет в точке https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29">. Пункты б) , в) г) решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.

Учащиеся решают задание в тетради

Убывающая функция

Убывающая функция наибольшее значение функции на отрезке наименьшее значение функции на отрезке

Возрастающая функция наименьшее значение функции на отрезке наибольшее значение функции на отрезке

- № 000. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке а) . Это задание практически такое же, как и предыдущее. Но здесь дан не отрезок, а луч. Мы знаем, что функция - возрастающая, при чем она не имеет ни наибольшего, ни наименьшего своего значения на всей числовой прямой https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height="20">, и стремится к при , т. е. на луче функция при стремится к 0, но не имеет своего наименьшего значения, но у неё существует наибольшее значение в точке . Пункты б) , в) , г) решите самостоятельно тетради, проверку проведем устно.

10 класс" width="271" height="129 src="/>

Самостоятельная работа по теме «Решение уравнений и систем уравнений (повторение).»

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image006_16.gif" width="99" height="24 src=">.gif" width="179" height="44 src=">.gif" width="99" height="51 src=">

Самостоятельная работа по теме «Решение неравенств». Повторение.

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image012_10.gif" width="64" height="27 src=">.gif" width="100" height="41 src=">.gif" width="72" height="27 src=">.gif" width="52" height="41 src=">.gif" width="189" height="24 src=">.

Вариант 1.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="171" height="51 src=">

а) Найдите https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 3.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="156" height="51 src=">

а) Найдите https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src=">.

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки возрастания и убывания.

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 5.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src=">, DIV_ADBLOCK535">

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 6.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="131" height="24">.

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image035_4.gif" width="89 height=53" height="53">

4. Решить совокупность неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

VII - IX классов»

Вариант 2.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image040_3.gif" width="91 height=53" height="53">

4. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Контрольная работа по теме «Повторение материала курса алгебры VII - IX классов»

Вариант 3.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image044_3.gif" width="89" height="75">

4. Решить совокупность неравенств: https://pandia.ru/text/78/476/images/image037_4.gif" width="137 height=48" height="48">

Контрольная работа по теме «Повторение материала курса алгебры VII - IX классов»

Вариант 4.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image048_3.gif" width="108" height="56">

4. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 1.

1. Сравнить числа: а) и ; б) и ; в) и https://pandia.ru/text/78/476/images/image056_2.gif" width="48" height="24 src=">.gif" width="107" height="43 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Показательная функция»

Вариант 2.

1. Сравнить числа: а) и ; б) и ; в) и https://pandia.ru/text/78/476/images/image068_2.gif" width="65" height="49 src=">.gif" width="107" height="43 src=">.

3. Построить графики функций: а); б); в).

Самостоятельная работа по теме «Показательные уравнения»

Вариант 1.

Решить уравнения:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image075_2.gif" width="136" height="24 src=">.gif" width="147" height="33 src=">.gif" width="161" height="24 src="> .

Самостоятельная работа по теме «Показательные неравенства»

Вариант 1.

Решить неравенства:

1) https://pandia.ru/text/78/476/images/image081_2.gif" width="144" height="21 src=">.gif" width="61" height="48 src=">.gif" width="88" height="28 src=">.

Вариант 1.

1. Построить график функции .

2. Решить уравнения: а), б).

3. Решить неравенства: а); б) .

4. Решить систему уравнений:

Контрольная работа по теме «Показательная функция»

Вариант 2.

1. Построить график функции .

2. Решить уравнения: а), б).

3. Решить неравенства: а); б) .

4. Решить систему уравнений:

Вариант 1.

1. Вычислите: а); б); в); г).

2..gif" width="147" height="24 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Понятие логарифма»

Вариант 2.

1. Вычислите: а); б); в); г).

2..gif" width="161" height="27 src=">.

Вариант 1.

2..gif" width="87" height="44 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Основные свойства логарифма»

Вариант 2.

1. Найти , если известно, что .

2..gif" width="113" height="45 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмическая функция»

Вариант 1.

Найдите область определения каждой из функций:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image118_0.gif" width="97" height="27 src=">.gif" width="147" height="28 src=">.gif" width="192" height="31 src=">.

Вариант 1.

Построить график функции:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image124_0.gif" width="81" height="27 src=">.gif" width="75" height="27 src=">.

Самостоятельная работа по теме «График логарифмической функции»

Вариант 2.

Построить график функции:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image128_0.gif" width="99" height="28 src=">.gif" width="81" height="29 src=">.

Вариант 1.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 2.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 3.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 4.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Вариант 1.

1. Вычислить: а); б) ; в); г); д); е).

2. Найти х , если .

3..gif" width="93" height="27">.

Контрольная работа по теме: «Логарифм».

Вариант 2.

1. Вычислить: а); б) ; в); г); д); е).

2. Найти х , если .

3..gif" width="91" height="27">.

5. Найти функцию, обратную к функции , . Указать область определения и область значений обратной функции.

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image168_0.gif" width="117" height="24 src=">.gif" width="131" height="48 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмические уравнения»

Вариант 2.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image172_0.gif" width="125" height="41 src=">.gif" width="133" height="40 src=">.

Вариант 1.

1), 2), 3),

4)https://pandia.ru/text/78/476/images/image179_0.gif" width="93 height=20" height="20">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмические неравенства»

Вариант 2.

4)https://pandia.ru/text/78/476/images/image184.gif" width="92 height=20" height="20">.

Контрольная работа по теме «логарифмические уравнения и неравенства»

Вариант 1.

1. Решите уравнения: а); б); в).

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенства: а); б).

4..gif" width="159" height="29">; б); в).

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенства: а); б).

4..gif" width="25" height="41 src=">.gif" width="77" height="41">; б).

4..gif" width="109" height="21 src=">..gif" width="36" height="19 src=">.

Вариант 2.

1. Выразите в радианной мере величины углов 560; 1700.

2..gif" width="37" height="41 src=">.

3. Укажите знак числа: а); б).

4..gif" width="100" height="21 src=">..gif" width="29" height="19 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Основы тригонометрии»

Вариант 3.

1. Выразите в радианной мере величины углов 720; 1400.

2..gif" width="36" height="41 src=">.

3. Укажите знак числа: а); б).

4..gif" width="29" height="19 src=">, если известно, что и https://pandia.ru/text/78/476/images/image221.gif" width="27" height="41 src=">.gif" width="123" height="48">; б).

4..gif" width="36" height="19 src=">, если известно, что и https://pandia.ru/text/78/476/images/image226.gif" width="497" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="497" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="192" height="24">.

2. Докажите тождество: .

Вариант 2.

1. Вычислите: .

2. Докажите тождество:.

3. Преобразуйте в произведение:.

Самостоятельная работа по теме «Сумма и разность тригонометрических функций»

Вариант 3.

1. Вычислите: .

2. Докажите тождество: .

3. Преобразуйте в произведение: .

Самостоятельная работа по теме «Сумма и разность тригонометрических функций»

Вариант 4.

1. Вычислите:.

2. Докажите тождество:.

3. Преобразуйте в произведение: .

Вариант 1.

1. Упростите выражение: .

2. Вычислите .

3. Вычислите .

4. Вычислите .

5. Преобразуйте в произведение https://pandia.ru/text/78/476/images/image255.gif" width="109" height="17 src=">..gif" width="16 height=13" height="13">.

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 2.

1. Упростите выражение: .

2. Упростите выражение: .

3. Вычислить .

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение .

Необязательное задание.

1..gif" width="43" height="17 src=">и наименьшее значение .

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 3.

1. Вычислите .

2. Вычислите .

3. Вычислите .

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение .

Необязательное задание .

1..gif" width="43" height="17 src=">и наибольшее значение .

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 4.

1. Вычислите .

2. Упростите выражение: https://pandia.ru/text/78/476/images/image274.gif" width="280" height="47">.

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение: .

Необязательное задание.

1..gif" width="43" height="17 src=">и наименьшее значение .

2. Начертите график функции .

Вариант 1.

Решить уравнения:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image278.gif" width="153" height="21 src=">.gif" width="109" height="45 src=">.gif" width="284" height="48 src=">

Самостоятельная работа по теме «Уравнение cosx=a»

Вариант 3.

Решить уравнения: , периодическая с главным периодом 6. При этом, принадлежащие промежутку

5. Запишите все решения уравнения , принадлежащие промежутку .

6. Запишите все решения неравенства , принадлежащие промежутку .