Известно, что Земля шарообразна, т.е. не обладает формой идеального шара. Фигура ее неправильна, и, как всякое вращающееся тело, она немного сплюснута у полюсов. Кроме того, из-за неравномерного распределения масс земного вещества и глобальных тектонических деформаций Земля имеет обширные, хотя и довольно пологие, выпуклости и вогнутости. Сложную фигуру нашей планеты, ограниченную уровенной поверхностью океана, называют геоидом. Точно определить его форму практически невозможно, но современные высокоточные измерения со спутников позволяют иметь о нем достаточно хорошее представление и даже описать уравнением.
Наилучшее геометрическое приближение к реальной фигуре Земли дает эллипсоид вращения - геометрическое тело, которое образуется при вращении эллипса вокруг его малой оси. Сжатие эллипсоида моделирует сжатие планеты у полюсов. На рисунке видно, насколько не совпадают меридиональные сечения геоида и земного эллипсоида.
Вычисление и уточнение размеров земного эллипсоида, начатое еще в XVIII в., продолжается по сей день. Теперь для этого используют спутниковые наблюдения и точные гравиметрические измерения. Это непростая задача: нужно рассчитать геометрически правильную фигуру - референц-эллипсоид, который наилучшим образом приближен к геоиду и относительно которого будут выполняться все геодезические вычисления и рассчитываться картографические проекции. Многие исследователи, пользуясь разными исходными данными и методиками расчета, получают неодинаковые результаты. Поэтому исторически сложилось так, что в разные времена и в разных странах были приняты и законодательно закреплены различные эллипсоиды, и их параметры не совпадают между собой.
В России принят референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского, вычисленный в 1940 г. Его параметры таковы:
большая полуось {а) - 6 378 245 м;
малая полуось (b) - 6 356 863 м;
сжатие а = (а - b)/a- 1: 298,3.
В США и Канаде до недавнего времени использовали эллипсоид Кларка, рассчитанный еще в 1866 г., его большая полуось на 39 м короче, чем в российском эллипсоиде, а сжатие определено в 1:295,0. Во многих странах Западной Европы и некоторых государствах Азии принят эллипсоид Хейфорда, вычисленный в 1909 г., а в бывших английских колониях - в Индии и странах Южной Азии, используют рассчитанный англичанами в 1830 г. эллипсоид Эвереста. В 1984 г. на основе спутниковых измерений вычислен международный эллипсоид WGS-84 (World Geodetic System). Всего в мире насчитывается около полутора десятков разных эллипсоидов.
Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, получаются в несколько различающихся координатных системах, что создает неудобства. Однако для принятия единого международного эллипсоида требуется перевычислить координаты и пересоставить все карты, а это долгое, сложное и, главное, дорогостоящее дело.
Несовпадения бывают заметны главным образом на крупномасштабных картах при определении по ним точных координат объектов. Но на широко используемых географами средне- и мелкомасштабных картах такие различия не очень чувствительны. Более того, иногда вместо эллипсоида берут шар и тогда в качестве среднего радиуса Земли принимают величину Я = 6367,6 км. Погрешности при замене эллипсоида шаром оказываются столь малы, что никак не проявляются на большинстве географических карт.
Знание фигуры и размеров Земли необходимо во многих областях науки и техники, и прежде всего для правильного изображения земной поверхности в виде планов и карт.
Физическая поверхность Земли состоит из поверхности суши 24,4% и из водной поверхности, рассматриваемой, в спокойном состоянии 70,6%.
Земля не является правильным геометрическим телом. Ее поверхность и в особенности поверхность суши очень сложная, и ее невозможно выразить какой-либо математической формулой.
Представление о фигуре Земли в целом можно получить, вообразив, что вся планета ограничена мысленно продолженной поверхностью океанов в спокойном состоянии. Такая замкнутая поверхность в каждой своей точке перпендикулярна к отвесной линии, т. е. к направлению действия силы тяжести. Её называют уровенной поверхностью.
Уровенной поверхностью называют выпуклую поверхность перпендикулярную к направлению силы тяжести (отвесной линии) .
Уровенных поверхностей, огибающих Землю, можно вообразить множество. Та из них, что совпадает со средним уровнем воды Мирового океана, мысленно продолженная под сушей, называется поверхностью геоида , а тело ограниченное ею - геоидом .
За математическую поверхность Земли принято считать уровенную поверхность, в каждой точке которой направление отвесной линии (сила тяжести) и нормаль совпадают.
Из-за неравномерного распределения масс внутри Земли геоид не имеет правильной геометрической формы и его поверхность не может быть выражена математически, поэтому для практических расчетов ее заменяют более простыми геометрическими моделями. Из них ближе всего к геоиду подходит сфероид или эллипсоид вращения , получаемый вращением эллипса вокруг его малой (полярной) оси.
Размеры эллипсоида характеризуются длинами его большой полуоси а и малой полуоси b, а такж сжатием, определяемым по формуле:
На протяжении двух последних столетий ученые неоднократно определяли размеры земного эллипсоида. Математическая модель Земли, наиболее удачная, была предложена в 1946 г. проф. Красовским в виде референц-эллипсоида.
Большая полуось a= 6 378 245 м;
Малая полуось b=6 356 863 м.
Сжатие = 1:298,3=0,0033523299.
Эллипсоид Красовского - фигура, полученная вращением эллипса вокруг его малой оси. Земля сплюснута у полюсов под действием центробежной силы, возникающей при вращении земли вокруг своей оси.
В практических расчетах Землю принимают за шар со средним радиусом R=6371.11 км. Небольшой участок поверхности Земли практически можно считать горизонтальной плоскостью, более крупный участок - как часть сферы.
В России за уровенную поверхность принята Балтийская система высот, отсчитываемая от уровня Балтийского моря (Кронштадский футшток).
Геоид, квазигеоид и общий земной эллипсоид – это три модели Земли. Дадим их определения с точки зрения современных представлений о фигуре Земли.
Под фигурой Земли в настоящее время понимают фигуру, ограниченную физической поверхностью Земли, т.е. поверхностью ее твердой оболочки на суше и невозмущенной поверхностью морей и океанов.
Суша составляет третью часть от земной поверхности и в среднем она возвышается над водой примерно на 900 метров, что незначительно по сравнению с радиусом Земли (6371км). Поэтому за фигуру Земли в первом приближении принят геоид.
Дадим два определение геоида:
1. Строгое: геоид – это уровенная поверхность поля силы тяжести Земли, проходящая через начало счета высот.
2. Нестрогое: геоид – это фигура, ограниченная невозмущенной поверхностью морей и океанов и продолженная под материками так, чтобы отвесные линии во всех ее точках были перпендикулярны к ней.
Более ста лет, т. е. с первой половины прошлого века геодезисты и геофизики изучали фигуру геоида и считали это основной научной задачей высшей геодезии. В середине прошлого столетия советским ученым Молоденским было доказано, что фигура геоида, строго говоря, неопределима. Он предложил основной задачей высшей геодезии считать изучение фигуры реальной Земли и ее гравитационного поля. Молоденский создал теорию, которая позволяет точное определение фигуры Земли на основании выполненных на земной поверхности измерений, без привлечения каких – либо гипотез об ее внутреннем строении.
В теории Молоденского в качестве вспомогательной вводится поверхность квазигеоида, совпадающая с геоидом на океанах и морях и весьма мало отступающая от поверхности геоида на суше (менее 2м) .
В отличие от геоида поверхность квазигеоида может быть строго определена по результатам наземных наблюдений.
С понятием земного эллипсоида мы уже столкнулись при рассмотрении главной научной задачи высшей геодезии, поверхность земного эллипсоида является той математически и геометрически простой поверхностью, на которой могут быть решены геодезические задачи по координированию точек земной поверхности и которая достаточной близка к поверхности Земли. Земной эллипсоид представляет собой эллипсоид вращения с малым полярным сжатием. Его поверхность может быть получена вращением полуэллипса РЕР 1 вокруг его малой оси РР 1 (рис 1.2).
Рис. 1.2. К понятию земного эллипсоида: - большая полуось; b - малая полуось.
Поверхность земного эллипсоида в геодезии принимают за отсчетную, определяя относительно нее высоты точек поверхности изучаемой фигуры Земли.
Форма и размеры земного эллипсоида характеризуются большой и малой полуосями и b , а чаще большой полуосью и полярным сжатием
(1.1)
или большой полуосью и эксцентриситетом меридианного эллипса:
(1.2)
Эллипсоид, имеющий наибольшую близость к фигуре Земли в целом, называется общим земным эллипсоидом .
Параметры общего земного эллипсоида определяются под условиями:
1) центр эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли, а его малая ось с осью вращения Земли;
2) объем эллипсоида должен быть равен объему геоида (квазигеоида);
3) сума квадратов отклонений по высоте поверхности эллипсоида от поверхности геоида (квазигеоида) должна быть минимальной.
Параметры земного эллипсоида могут быть получены с помощью так называемых градусных измерений , заключающихся в проложении рядов триангуляции по направлениям меридианов и параллелей на разных широтах с определением на конечных пунктах астрономических широт, долгот и азимутов сторон, а также по результатам спутниковых наблюдений.
В течение полутора веков ученые разных стран занимались определением параметров земного эллипсоида, используя доступные им результаты градусных измерений. Итогом этих определений служит появление ряда эллипсоидов.
В каждой стране принимают в качестве рабочего тот эллипсоид, который наилучшим образом подходит для ее территории. В соответствии с этим критерием выполняют и его ориентирование на теле Земли, т.е. определение координат начального пункта. Такие рабочие эллипсоиды, используемые в разных странах, называются референц - эллипсоидами. В СССР и ряде стран восточной Европы принят референц - эллипсоид Красовского, 1940г. Эллипсоид Красовского является наиболее точным из всех эллипсоидов, полученных из обработки наземных измерений. Его размеры близки к размерам ОЗЭ, найденным по данным наблюдений ИСЗ.
5. Основные разделы высшей геодезии; связь дисциплины с другими науками
Высшая геодезия - это обширная область знаний. Она состоит из ряда больших разделов, часть из которых при подробном рассмотрении являются самостоятельными дисциплинами. Перечислим основные разделы высшей геодезии.
1. Основные геодезические работы. В этом разделе рассматриваются методы точного определения взаимного положения точек земной поверхности путем выполнения высокоточных угловых, линейных и нивелирных измерений (триангуляция, полигонометрия и нивелирование); основная координатная линия, относительно которой производятся указанные измерения, - отвесная линия.
2. Геодезическая гравиметрия: рассматривает методы измерения ускорения силы тяжести в точках земной поверхности, а также методы учета неоднородности гравитационного поля в результатах геодезических измерений.
3. Геодезическая астрономия: рассматривает методы определения широт, долгот и азимутов из наблюдений небесных тел.
4. Космическая или спутниковая геодезия: решает те же задачи, что и высшая геодезия, но при помощи наблюдений за искусственные спутники Земли.
5. Сфероидическая геодезия: рассматривает методы решения геодезических задач на поверхности земного эллипсоида.
6. Теоретическая геодезия: занимается разработкой теорий и методов решения основной научной задачи геодезии – определение фигуры и внешнего гравитационного поля Земли - и их изменений во времени.
В своих исследованиях высшая геодезия широко использует новейшие достижения физики, математики, астрономии. При разработке высокоточной измерительной техники – прикладной оптики, точного приборостроения, лазерной техники и т.д. При математической обработке результатов измерений применяются теория вероятностей, математическая статистика, способ наименьших квадратов. Все вычисления выполняются на новейших ЭВМ. Для решения научных геодинамических задач необходима тесная взаимосвязь высшей геодезии с геологией, геотектоникой, геофизикой, сейсмологией и т.д.
6.Основные системы координат, применяемые в высшей геодезии. Понятие о геодезических и астрономических координатах и азимутах
В высшей геодезии используются следующие системы координат:
1. Система геодезических координат.
2. Система прямоугольных пространственных координат.
3. Система плоских прямоугольных координат.
4. Система прямоугольных прямолинейных координат х , y , отнесенных к плоскости меридиана данной точки.
5. Система геоцентрических координат.
6. Система координат с приведенной широтой и геодезической долготой.
7. Система прямоугольных сфероидических координат.
В практике геодезических работ наиболее часто используются первые три из перечисленных систем координат, которые мы и рассмотрим более подробно.
| Н |
| Е ′ |
| Е |
Рис. 2.1. Геодезические координаты В , L , Н точки земной поверхности М .
РЕ 0 P" -
РmР" - плоскость местного геодезического меридиана (проведенного через точку М(m) местности).
Мmn - нормаль к эллипсоиду, опущенная из точки М.
Геодезической широтой точки М(m ) называется острый угол В между плоскостью экватора Е и нормалью (Мmn) к поверхности эллипсоида в данной точке.
Геодезическая широта изменяется от 0 0 до 90 0 . Она имеет положительный знак в северном полушарии и отрицательный - в южном.
Геодезической долготой L точкиМ (m) называется двугранный угол Рm E 0 между плоскостью РЕ 0 P" гринвичского (нулевого) меридиана и плоскостью РmР" местного геодезического меридиана точки М(m ). Долготы отсчитываются от начального меридиана и изменяются от 0 0 до 360 0 . В России и Белоруссии с запада на восток, в некоторых стран наоборот.
Геодезической высотой точки М местности называется расстояние Mm этой точки от поверхности референц – эллипсоида, отсчитанное по нормали.
Точки, лежащие выше поверхности эллипсоида имеют положительные высоты, ниже – отрицательные.
Геодезические координаты не могут быть непосредственно измерены.
Астрономические координаты характеризуются астрономической широтой и астрономической долготой l.
| m |
| g |
| K |
Рис. 2.2. Астрономические координаты иl точки земной поверхности М .
ЕЕ 0 - плоскость земного экватора;
РЕ 0 Е" - плоскость Гринвичского или нулевого меридиана;
Р 1 m Р 1 " - плоскость местного астрономического меридиана.
М mg - отвесная линия , проходящая через точку М.
Астрономической широтой точки М(m ) называется острый угол между плоскостью земного экватора Е и отвесной линией Мmg в данной точке.
Астрономическая широта изменяется от 0 0 до 90 0 . Она имеет положительный знак в северном полушарии и отрицательный - в южном.
Астрономической долготой точкиМ (m) называется двугранный уголмежду плоскостью РЕ 0 P" гринвичского (нулевого) меридиана и плоскостью астрономического меридиана данной точки. Под плоскостью астрономического меридиана точки понимают плоскость, проходящую через отвесную линию (Мmg ) в данной точке и прямую, располагающуюся параллельно оси вращения Земли (в общем случае плоскость астрономического меридиана не проходит через полюсы Земли).
Параметры земного эллипсоида
Земной эллипсоид имеет три основных параметра, любые два из которых однозначно определяют его фигуру:
Существуют также и другие параметры эллипсоида:
Для практической реализации земной эллипсоид необходимо ориентировать в теле Земли . При этом выдвигается общее условие: ориентирование должно быть выполнено таким образом, чтобы разности астрономических и геодезических координат были минимальными.
Референц-эллипсоид
Фигура референц-эллипсоида наилучшим образом подходит для территории отдельной страны или нескольких стран. Как правило, референц-эллипсоиды принимаются для обработки геодезических измерений законодательно . В России/CCCР с года используется эллипсоид Красовского .
Ориентирование референц-эллипсоида в теле Земли подчиняется следующим требованиям:
- Малая полуось эллипсоида (b ) должна быть параллельна оси вращения Земли.
- Поверхность эллипсоида должна находиться возможно ближе к поверхности геоида в пределах данного региона.
Для закрепления референц-эллипсоида в теле Земли необходимо задать геодезические координаты B 0 , L 0 , H 0 начального пункта геодезической сети и начальный азимут A 0 на соседний пункт. Совокупность этих величин называется исходными геодезическими датами .
Основные референц-эллипсоиды и их параметры
| Учёный | Год | Страна | a, м | 1/f |
|---|---|---|---|---|
| Деламбр | 1800 | Франция | 6 375 653 | 334,0 |
| Деламбр | 1810 | Франция | 6 376 985 | 308,6465 |
| Вальбек | 1819 | Финляндия,Российская Империя | 6 376 896 | 302,8 |
| Airy | 1830 | 6 377 563,4 | 299.324 964 6 | |
| Эверест | 1830 | Индия, Пакистан, Непал, Шри-Ланка | 6 377 276,345 | 300.801 7 |
| Бессель | 1841 | Германия, Россия (до 1942 г.) | 6 377 397,155 | 299.152 815 4 |
| Теннер | 1844 | Россия | 6 377 096 | 302.5 |
| Кларк | 1866 | США, Канада, Лат. и Центр. Америка | 6 378 206,4 | 294.978 698 2 |
| Кларк | 1880 | Франция, ЮАР | 6 377 365 | 289.0 |
| Листинг | 1880 | 6 378 249 | 293.5 | |
| Гельмерт | 1907 | 6 378 200 | 298,3 | |
| Хейфорд | 1910 | Европа, Азия, Ю.Америка, Антарктида | 6 378 388 | 297,0 |
| Хейсканен | 1929 | 6 378 400 | 298,2 | |
| Красовский | 1936 | СССР | 6 378 210 | 298,6 |
| Красовский | 1940 | СССР,Россия, страны СНГ, вост. Евр, Антарктида | 6 378 245 | 298.299 738 1 |
| Эверест | 1956 | Индия, Непал | 6 377 301,243 | 300.801 7 |
| IAG-67 | 1967 | 6 378 160 | 298.247 167 | |
| WGS-72 | 1972 | 6 378 135 | 298.26 | |
| IAU-76 | 1976 | 6 378 140 | 298.257 | |
| ПЗ-90 | 1990 | Россия | 6 378 136 | 298.258 |
Общеземной эллипсоид
Общеземной эллипсоид должен быть ориентирован в теле Земли согласно следующим требованиям:
При ориентировании общеземного эллипсоида в теле Земли (в отличие от референц-эллипсоида) нет необходимости вводить исходные геодезические даты.
Поскольку требования к общеземным эллипсоидам на практике удовлетворяются с некоторыми допусками, а выполнение последнего (3) в полном объеме невозможно, то в геодезии и смежных науках могут использоваться различные реализации эллипсоида, параметры которых очень близки, но не совпадают (см. ниже).
Современные общеземные эллипсоиды и их параметры
| Название | Год | Страна/организация | a, м | точность m a , м | 1/f | точность m f | Примечание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| GRS80 | 1980 | МАГГ (IUGG) | 6 378 137 | ± 2 | 298,257 222 101 | ± 0,001 | (англ. Geodetic Reference System 1980) разработан Международной Ассоциацией Геодезии и Геофизики (англ. International Union of Geodesy and Geophysics ) и рекомендован для геодезических работ |
| WGS84 | 1984 | США | 6 378 137 | ± 2 | 298,257 223 563 | ± 0,001 | (англ. World Geodetic System 1984) применяется в системе спутниковой навигации GPS |
| ПЗ-90 | 1990 | СССР | 6 378 136 | ± 1 | 298,257 839 303 | ± 0,001 | (Параметры Земли 1990 года) используется на территории России для геодезического обеспечения орбитальных полетов. Этот эллипсоид применяется в системе спутниковой навигации ГЛОНАСС |
| МСВЗ (IERS) | 1996 | IERS | 6 378 136,49 | - | 298,256 45 | - | (англ. International Earth Rotation Service 1996 ) рекомендован Международной службой вращения Земли для обработки РСДБ -наблюдений |
§ 1. Фигура и размеры Земли
Многочисленные исследования и измерения позволили установить, что Земля имеет форму неправильного в математическом отношении тела, называемого геоидом. Поверхность, образующая геоид, в отличие от физической поверхности Земли с ее неровностями (горы, впадины и т. п.) во всех своих точках горизонтальна, т. е. совпадает с нормалью к направлению силы тяжести и определяется как уровенная поверхность. В природе такая уровенная поверхность совпадает со средним уровнем воды океанов и открытых морей в спокойном состоянии (при отсутствии,волнения, течений, приливов и других возмущающих факторов), мысленно продолженным под все материки. Неправильность геоида обусловливается неравномерным распределением масс в толще Земли, от притягивающего действия которых зависит направление силы тяжести.
Теоретические исследования и результаты обработки астрономо-геодезических и гравиметрических измерений, а также результаты наблюдений за искусственными спутниками Земли показывают, что геоид близок к математически правильной фигуре - эллипсоиду вращения, образованному вращением эллипса вокруг его малой оси. Поэтому при производстве геодезических, картографических и других работ, требующих высокой точности, за фигуру Земли принимают эллипсоид вращения.
Величина отклонения по высоте поверхности геоида от поверхности земного эллипсоида, принятого в СССР и надлежащим образом подобранного по размерам и ориентированного в теле Земли, не превышает 100-150 м. Эллипсоид вращения практически отождествляется со сфероидом, представляющим фигуру равновесия вращающейся однородной жидкой массы. Отклонение по высоте поверхностей эллипсоида вращения и сфероида не превышает 2-3 м.
Определение размеров земного эллипсоида, имеющего наибольшую близость к фигуре Земли в целом, продолжает оставаться одной из основных задач высшей геодезии. Поэтому в разных странах обработку результатов геодезических и топографических работ относят к вспомогательной математической поверхности, представляющей земной эллипсоид с размерами, принятыми для данной страны. Эллипсоид с определенными размерами, к поверхности которого относят все результаты геодезических и топографических работ в государстве, называют референц - эллипсоидом.
Основными элементами, определяющими размеры земного эллипсоида, являются его полуоси: большая а и малая Ь. Кроме того, для характеристики земного эллипсоида, а также для некоторых расчетов применяются понятия: полярное сжатие α земного эллипсоида, выражаемое формулой
α = а - b / a, (1 формула)
и эксцентрицитет его (е), определяемый выражением
e = √ a 2 - b 2 / a (2 формула)
Начиная с 1946 г. для всех геодезических и картографических работ на территории СССР принимается референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского с размерами:
- большая полуось а = 6 378 245 м;
- малая полуось b = 6 356 863 м;
- полярное сжатие α = 1:298,3;
- квадрат эксцентрицитета е 2 =1:149,15.
При выводе размеров референц-эллипсоида группой ученых, геодезистов, топографов и вычислителей под руководством профессора Ф. Н. Красовского были использованы обширнейшие материалы астрономических, геодезических и гравиметрических измерений, производившихся в СССР на протяжении многих лет, а также результаты аналогичных работ, выполненных в других странах. Размеры референц-эллипсоида Красовского подтверждаются также результатами обработки наблюдений за искусственными спутниками Земли, произведенных в последние годы.
Ориентирование в теле Земли земного эллипсоида с соответствующими размерами полуосей и сжатия характеризуется так называемыми исходными геодезическими датами. Исходными геодезическими датами называют координаты начального пункта триангуляции, определяющие его Широту В 0 , долготу L 0 , азимут A 0 на какой-либо смежный пункт и высоту h 0 поверхности геоида относительно поверхности референц-эллипсоида.
Эти даты принимаются за начальные при расчете координат всех других пунктов земной поверхности.
При- пользовании иностранными. картами следует помнить, что в разных странах приняты различные исходные геодезические даты. Поэтому одни и те же пункты на картах, изданных в разных странах, могут иметь различные координаты. Хотя это различие может быть и небольшим, но с ним в кораблевождении нужно считаться и перенос места корабля с одной карты на другую при плавании вблизи берегов следует производить не по географическим координатам, а по направлению и расстоянию до ближайшего опорного пункта, помещенного на обеих картах.
Принятие Земли за эллипсоид вращения является, по существу, вторым приближением при определении фигуры Земли. При решении некоторых задач практической навигации, не требующих высокой точности, оказывается возможным ограничиваться первым приближением в определении формы Земли - принимать Землю за шар. К таким задачам относятся вычисления дальности видимости ориентиров в море, расчеты для плавания по кратчайшему расстоянию, аналитические расчеты при определении места по радиопеленгам, расчеты по формулам аналитического счисления и некоторые другие.
Для определения величины радиуса Земли - шара обычно исходят из некоторых дополнительных условий.
Одним из них является условие, чтобы длина одной минуты дуги меридиана (или любого большого круга на шаре) была равна 1852 м, т. е. длине стандартной морской мили. В этом случае радиус шара, отвечающего поставленному условию, получится равным
R = 1852 * 60 * 360 / 2 π = 6 366 707 м.
При решении ряда задач картографии ставится условие, чтобы объем земного шара был равен объему земного эллипсоида или чтобы поверхность шара была равна поверхности эллипсоида. Длина радиуса R шара, одинакового с земным эллипсоидом объема, равна
R = кубический корень √ (a 2 * b) = 6371109,7 м.
Если ставится условие, чтобы поверхность шара была равна поверхности эллипсоида, то радиус такого шара принимается равным 
где М- радиус кривизны меридиана; N - радиус кривизны первого вертикала в данной точке.
§ 2. Географическая система координат
Положение точки на любой поверхности или в пространстве определяется совокупностью конкретных величин, называемых координатами. Координаты могут выражаться как в линейной, так и в угловой мере; они определяют положение координатных линий относительно принятых за начало осей координат. Для определения положения точек на земной поверхности могут применяться различные системы координат: географическая, прямоугольная, полярная и др. Наиболее употребительной является система географических координат.
Малая ось эллипсоида пересекает поверхность последнего в двух точках, которые называются северными и южным полюсами. Плоскости, проходящие через ось вращения Земли, называются плоскостями земных меридианов, которые в сечении с поверхностью Земли образуют большие круги, называемые меридианами. Плоскость, перпендикулярная земной оси и проходящая через центр эллипсоида, называется плоскостью экватора. Большой круг, образующийся от пересечения этой плоскости с поверхностью эллипсоида, называется земным экватором. Плоскости, параллельные плоскости земного экватора в сечении с поверхностью Земли, образуют малые круги, называемые земными параллелями. 
Координатными осями системы географических координат приняты: экватор и один из меридианов, принимаемый за начальный; координатными линиями являются земные параллели и меридианы, а величинами, определяющими положение точек, т. е. координатами, географическая широта и географическая долгота.
Географической широтой точки на поверхности Земли называется угол между нормалью к поверхности эллипсоида в этой точке и плоскостью экватора. Географическая широта в кораблевождении обозначается греческой буквой φ (фи). Счет широт ведется от экватора к полюсам от 0 до 90°. Широты северного полушария считаются положительными и при аналитических расчетах они принимаются со знаком плюс. Северные широты обозначаются буквой N. Широты точек южного полушария, обозначаемые буквой S, считаются отрицательными и им приписывается знак минус.
Географическая широта определяет положение параллели, на которой находится определяемая точка.
Географической долготой точки называется двугранный угол, образованный плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через эту точку. Двугранный угол измеряется сферическим углом при полюсе между начальным меридианом и меридианом определяемой точки или численно равной ему дугой экватора, заключенной между названными меридианами.
За начальный меридиан в принципе может приниматься любой земной меридиан. По международному соглашению 1884 г. большинством стран мира, в том числе и Советским Союзом, за начальный принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию, расположенную около Лондона.
Счет географических долгот ведется к востоку и западу от Гринвичского меридиана от 0 до 180°. Географическая долгота в кораблевождении обозначается греческой буквой λ (ламбда). Долготы точек, находящихся в восточном полушарии, принято считать положительными (знак плюс), западные долготы считаются отрицательными (знак минус). При определении долготы той или иной точки земной поверхности обязательно указывают на ее наименование: восточной - Оst или, как сейчас принято, Е, западной - W. В зависимости от метода вычисления- географических координат различают координаты геодезические и астрономические.
В геометрическом определении геодезических координат, которые получаются в результате геодезических измерений (триангуляции, полигонометрии), никакой разницы с общей формулировкой географических координат нет. Места точек, фиксируемых геодезической широтой и геодезической долготой, относятся также к математически правильной фигуре-эллипсоиду вращения.
При определении места астрономическими способами наблюдатель имеет дело с линией отвеса, совпадающей с направлением силы тяжести, а не с нормалью к поверхности эллипсоида. Поэтому в астрономической системе координат широта определится как угол между плоскостью экватора и направлением отвеса в данной точке. Долгота места, определенного астрономическим способом, представляет собой двугранный угол между плоскостью начального меридиана (меридиана Гринвича) и плоскостью астрономического меридиана данной точки. Примененный термин-астрономический меридиан - надо понимать как след от сечения земной поверхности плоскостью, проходящей через отвесную линию в данной точке и параллельной оси мира. Из определения астрономических координат видно, что они в отличие от геодезических координат фиксируют положение точек относительно поверхности действительной фигуры Земли-геоида. 
Нормаль к поверхности земного эллипсоида в общем случае не проходит через центр Земли. Вместе с тем при решении астрономических задач, а также ряда специальных задач математической картографии появляется необходимость определять положение точек земной поверхности относительно центра Земли. В этом случае долгота произвольной точки К определится также, как и в географической системе координат, а, широта получится как угол между плоскостью экватора и прямой, соединяющей данную точку с центром эллипсоида. Такая широта называется геоцентрической широтой и обозначается φ". На рисунке видно, что геоцентрическая широта в общем случае меньше географической широты на величину редукции r широты, которая может быть подсчитана по формуле
r"" = φ - φ" = α sin 2 φ / arc 1"" (3 формула)
Для точек, расположенных на экваторе и на полюсе, редукция широты равна нулю. Наибольшего значения (11,5") редукция достигает в широте 45°.
В случаях, когда форма Земли принимается за шар, положение точек на Земле-шаре определяется так же, как и на поверхности эллипсоида, их географическими координатами, т. е. широтой и долготой. Но нормаль на Земле-шаре совпадает с его радиусом. 
Поэтому географической широтой φ некоторой точки М на земном шаре будет угол при центре сферы между плоскостью экватора и радиусом, проходящим через определяемую точку. Из сопоставления определений широты видно, что геоцентрическая широта является лишь частным случаем широты сферической.
Глава 1
§ 3. Разность широт и разность долгот
Географические координаты - широта и долгота - однозначно определяют положение конкретной точки земной поверхности. Переход от одной точки земной поверхности к другой сопровождается изменением их географических координат. Точки, лежащие на одной параллели, имеют одинаковую широту и разные долготы. Точки, расположенные на одном меридиане, имеют одну и ту же долготу и различные широты. В общем случае две точки, не находящиеся на одном меридиане или на одной параллели, имеют разные широты и разные долготы. В практике кораблевождения часто необходимо знать, как изменились или изменятся географические координаты при переходе из одной точки земной поверхности в другую, и уметь вычислять эти изменения. Величинами, характеризующими изменение географических координат при переходе от одной точки земной поверхности к другой, являются разность широт и разность долгот.
Разностью широт (РШ) двух точек на поверхности Земли называется дуга меридиана, заключенная между параллелями этих точек.
Для вычисления разности широт пользуются формулой
РШ = φ 2 - φ 1 ,
принимая во внимание при этом знаки + и - соответственно их наименованию. Действительно, на рисунке видно, что изменение широты (РШ) при переходе корабля из точки А в точку Б характеризуется дугой А"Б, численно равной разности дуг меридианов точек прихода Б и отхода А, определяемых соответственно широтами φ Б и φ А.
Рассчитанной по формуле (4) разности широт приписывается знак плюс, если она совершена к N, и знак минус, если разность широт совершена к S. Разность широт может изменяться от 0 до ±180°.
Разность долгот (РД), характеризующая изменение долготы, как видно из рисунка, представляет собой центральный угол между меридианами двух точек. Этот угол измеряется дугой экватора между указанными меридианами. На этом основании разностью долгот двух точек на поверхности Земли называется меньшая из дуг экватора, заключенная между меридианами этих точек. Из этого определения следует, что разность долгот может иметь значения от 0 до ±180°. С учетом ранее принятых обозначений (для восточной долготы знак плюс и для западной - минус) можно написать формулу для вычисления РД двух точек:
РД = λ 2 - λ 1
Разность долгот будет иметь знак плюс, если она совершена к Ost, и знак минус, если она совершена к W. Указанное правило имеет следующий геометрический смысл: если меридиан пункта прихода λ 2 располагается восточнее меридиана пункта отхода λ 1, значит, разность долгот сделана к Оst и ей приписывается знак плюс. И наоборот, когда меридиан пункта прихода расположен западнее меридиана пункта отхода, разность долгот сделана к W и ей приписывается знак минус.
При решении задачи на расчет РД по формуле может получиться результат, превышающий 180°. В этих случаях для нахождения меньшей из дуг экватора полученный результат следует вычесть из 360° и изменить знак (наименование) его на обратный.
