Распространение волн в диспергирующих средах

Литература

Общий вид плоской гармонической волны определяется уравнением вида:

u (r , t ) = A exp(i  t  i kr ) = A exp(i ( t  k " r ) – ( k " r )), ()

где k ( ) = k "( ) + ik "( ) – волновое число, вообще говоря, комплексное. Его действительная часть k "( ) = v ф /  характеризует зависимость фазовой скорости волны от частоты, а мнимая часть k "( ) – зависимость коэффициента затухания амплитуды волны от частоты. Дисперсия, как правило, связана с внутренними свойствами материальной среды, обычно выделяются частотная (временная ) дисперсия , когда поляризация в диспергирующей среде зависит от значений поля в предшествующие моменты времени (память), и пространственная дисперсия , когда поляризация в данной точке зависит от значений поля в некоторой области (нелокальность).

Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией

В среде с пространственной и временной дисперсией материальные уравнения имеют операторный вид

Здесь предусматривается суммирование по повторяющимся индексам (правило Эйнштейна). Это – наиболее общая форма линейных материальных уравнений, учитывающая нелокальность, запаздывание и анизотропию. Для однородной и стационарной среды материальные характеристики  ,  и  должны зависеть только от разностей координат и времени R = r – r 1 ,  = t – t 1 :

, (.)

, ()

. ()

Волну E (r , t ) можно представить в виде 4-мерного интеграла Фурье (разложение по плоским гармоническим волнам)

, ()

. ()

Аналогично можно определить D (k ,  ), j (k ,  ). Взяв преобразование Фурье вида (5) от правых и левых частей уравнений (2), (3) и (4), получим с учетом известной теоремы о спектре свертки

, ()

где тензор диэлектрической проницаемости, компоненты которого зависят, в общем случае, и от частоты, и от волнового вектора, имеет вид

. (.)

Аналогичные соотношения получаются и для  i j (k ,  ) и  i j (k ,  ).

Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости

При учете только частотной дисперсии материальные уравнения (7) принимают вид:

D j (r ,  ) =  i j ( ) E i (r ,  ), ()

. ()

Для изотропной среды тензор  i j ( ) обращается в скаляр, соответственно

D (r ,  ) =  ( ) E (r ,  ), . ()

Поскольку восприимчивость  ( ) – действительная величина, то

 ( ) =  "( ) + i  "( ),  "(–  ) =  "( ),  "(–  ) = –  "( ). ()

Совершенно аналогично получаем

j (r ,  ) =  ( ) E (r ,  ), . ()

Вводится также комплексная диэлектрическая проницаемость

. ()

Интегрируя соотношение (11) по частям и учитывая, что  ( ) = 0, можно показать, что

С учетом формулы (14) уравнения Максвелла (1.16) – (1.19) для комплексных амплитуд принимают вид

. ()

Здесь учтено, что 4   = – i 4  div ( E )/  = div (D ) = div ( E ). Соответственно, часто вводится комплексная поляризация и полный ток

. ()

Соотношение Крамерса – Кронига

Запишем комплексную проницаемость (14) с учетом соотношений (11) – (13) в виде

, ()

где  ( ) – функция Хевисайда,  ( < 0) = 0,  (  0) = 1. Но  ( < 0) =  ( < 0) = 0, поэтому  ( )  ( ) =  ( ),  ( )  ( ) =  ( ). Следовательно,

где  ( ) – Фурье-образ функции Хевисайда,

. ()

Таким образом, или

. ()

Аналогично легко получить

. ()

Заметим, что интегралы в соотношениях (19) и (20) берутся в главном значении. Теперь с учетом соотношений (17), (19) и (20) получаем:

Приравнивая мнимые и действительные части в правой и левой частях этого равенства, получим соотношения Крамерса – Кронига

, ()

, ()

устанавливающие универсальную связь между действительной и мнимой частями комплексной проницаемости. Из соотношений Крамерса – Кронига (21), (22) следует, что диспергирующая среда является поглощающей средой.

Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике

Пусть Р = N p = Ne r – объемная поляризация среды, где N – объемная плотность молекул, r – смещение. Колебания молекул под действием внешнего электрического поля описываются моделью Друде – Лоренца (гармонический осциллятор), соответствующей колебаниям электрона в молекуле. Уравнение колебаний одной молекулы (диполя) имеет вид

где m – эффективная масса электрона,  0 – частота нормальных колебаний, m  – коэффициент, описывающий затухание (потери на излучение), Е d = E + 4  P /3 – электрическое поле, действующее на диполь в однородном диэлектрике под действием внешнего поля Е .

Если внешнее поле меняется по гармоническому закону E (t ) = E exp (– i  t ), то для комплексной амплитуды поляризации получаем алгебраическое уравнение

или

Так как D =  E = E + 4  P , то

. ()

Здесь обозначено. Другая форма соотношения (23):

. ()

Из формулы (23) следует, что при    0 . В газах, где плотность молекул невелика, можно принять, тогда

Отсюда в силу формулы (1.31) для показателей преломления и поглощения получаем, учитывая, что tg ( ) =  "/  " << 1:

График этих зависимостей приведен на рис. 1. Отметим, что при    0 получается аномальная дисперсия dn / d  < 0, то есть фазовая скорость волны возрастает с частотой.

Дисперсия в среде со свободными зарядами

Примерами среды со свободными зарядами являются металл и плазма. При распространении в такой среде электромагнитной волны тяжелые ионы можно считать неподвижными, а для электронов записать уравнение движения в виде

В отличие от диэлектрика здесь нет возвращающей силы, так как электроны считаются свободными, а  – частота соударений электронов с ионами. В гармоническом режиме при E = E exp (– i  t ) получим:

тогда

, ()

где – плазменная , или ленгмюровская частота.

Проводимость такой среды естественно определить через мнимую часть проницаемости:

. ()

В металле  <<  ,  p <<  ,  ( )   0 = const ,  ( ) чисто мнимая, поле в среде существует только в скин-слое толщиной d  (kn ) -1 <<  , R  1.

В разреженной плазме  ~ (10 3 ... 10 4 ) c -1 и при  >>  проницаемость  ( ) чисто действительная, то есть

– ()

дисперсионное уравнение , его график приведен на рис. Отметим, что при

 >  p коэффициент преломления n действительный и волна свободно распространяется, а при  <  p коэффициент преломления n мнимый, то есть волна отражается от границы плазмы.

Наконец, при  =  p получаем n = 0, то есть  = 0, значит, D =  E = 0. Соответственно, в силу уравнений Максвелла (1.16) и (1.19) rot H = 0, div H = 0, то есть Н = const . В этом случае из уравнения (1.17) следует, что rot Е = 0, то есть

E = – grad  – потенциальное поле. Следовательно, в плазме возможно существование продольных (плазменных ) волн.

Волны в средах с пространственной дисперсией

При учете и пространственной, и временной дисперсии уравнение электромагнитного поля для плоских волн имеет вид (7) с материальными уравнениями вида (8):

Соответственно, для плоских гармонических волн при  = 1 уравнения Максвелла (15) с учетом соотношения (1.25) принимают вид:

Умножим второе из соотношений (28) слева векторно на k и, учитывая первое соотношение, получим:

В тензорных обозначениях с учетом соотношения (7) это означает

Здесь, по-прежнему, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, в данном случае по j .

Нетривиальные решения системы уравнений (29) существуют при равенстве нулю ее определителя

Это условие задает в неявном виде закон дисперсии  (k ). Для получения явного вида необходимо рассчитать тензор диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим случай слабой дисперсии, когда ka << 1, где а – характерный размер неоднородности среды. Тогда можно считать, что  i j (R ,  ) отлично от нуля лишь при | R | < a . Экспоненциальный же множитель в уравнении (8) заметно меняется лишь при | R | ~ 2  / k =  >> a , то есть экспоненту можно разложить в ряд по степеням R :

exp (– i kR ) = 1 – ik l x l – k l k m x l x m /2 + ... , l , m = 1, 2, 3.

Подставляя это разложение в уравнение (8), получим

Поскольку при слабой дисперсии интегрирование по R в уравнении (30) выполняется в области размером порядка а 3 , то

Введем вектор n = k  / c и перепишем уравнение (30) в виде:

, ()

где обозначено.

Поскольку все компоненты  i j тензора восприимчивости – действительные величины, то из уравнения (8) следует свойство эрмитовой сопряженности тензора диэлектрической проницаемости. Для среды с центром симметрии тензор диэлектрической проницаемости так же симметричен:  i j (k ,  ) =  j i (k ,  ) =  i j (– k ,  ), при этом разложение  i j (k ,  ) по k содержит только четные степени k . Такие среды называются оптически неактивными или негиротропными .

Оптически активной может быть только среда без центра симметрии. Такая среда называется гиротропной и описывается несимметричным тензором диэлектрической проницаемости  i j (k ,  ) =  j i (– k ,  ) =  * j i (k ,  ).

Для изотропной гиротропной среды тензор  i j ( ) является скаляром,

 i j ( ) =  ( )  i j , а антисимметрические тензоры второго ранга  i j l n l и g i j l n l в соотношении (31) – псевдоскалярами, то есть  i j l ( ) =  ( ) е i j l , g i j l ( ) = g ( ) е i j l , где е i j l – единичный полностью антисимметричный тензор третьего ранга. Тогда из соотношения (31) получаем для слабой дисперсии (a <<  ):

 i j (k ,  ) =  ( )  i j – i  ( ) е i j l n l .

Подставляя это выражение в уравнение (29), получим:

или в координатной форме, направляя ось z вдоль вектора k ,

Здесь n = n z , k = k z =  n / c .

Из третьего уравнения системы следует, что E z = 0, то есть волна поперечная (в первом приближении для слабо гиротропной среды). Условие существования нетривиальных решений первого и второго уравнений системы – равенство нулю определителя: [ n 2 –  ( )] 2 –  2 ( ) n 2 = 0. Поскольку a <<  , то и

 2 /4 <<  , поэтому

. ()

Двум значениям n 2 соответствуют две волны с правой и левой круговой поляризацией, из соотношения (1.38) следует, что. При этом, как следует из соотношения (32), фазовые скорости этих волн различны, что приводит к повороту плоскости поляризации линейно поляризованной волны при распространении в гиротропной среде (эффект Фарадея).

Распространение волнового пакета в диспергирующей среде

Носителем информации (сигналом) в электронике является модулированная волна. Распространение плоской волны в диспергирующей среде описывается уравнением вида:

, ()

Для электромагнитных волн в среде с временной дисперсией оператор L имеет вид:

Пусть диспергирующая среда занимает полупространство z > 0 и на ее границе задан входной сигнал u (t , z = 0) = u 0 (t ) с частотным спектром

. ()

Так как линейная среда удовлетворяет принципу суперпозиции, то

. ()

Подставляя соотношение (35) в уравнение (33), можно найти закон дисперсии k ( ), который будет определяться видом оператора L (u ). С другой стороны, подставляя соотношение (34) в уравнение (35), получим

. ()

Пусть сигнал на входе среды является узкополосным процессом, или волновым пакетом u 0 (t ) = A 0 (t ) exp (– i  0 t ), | dA 0 (t )/ dt | <<  0 A 0 (t ), то есть сигнал является ММА-процессом. Если  <<  0 , где F ( 0   ) = 0,7 F ( 0 ), то

()

и волновой пакет (36) можно записать в виде u (z , t ) = A (z , t ) exp (i (k 0 z –  0 t )), где

. ()

В первом приближении теории дисперсии ограничиваются линейным разложением. Тогда внутренний интеграл по  в уравнении (38) превращается в дельта-функцию:

u (z , t ) = A 0 (t – zdk / d  )exp(i (k 0 z –  0 t )), ()

что соответствует распространению волнового пакета без искажения с групповой скоростью

v гр = [ dk ( 0 )/ d  ] -1 . ()

Из соотношения (39) видно, что групповая скорость – это скорость распространения огибающей (амплитуды) A (z , t ) волнового пакета, то есть скорость передачи энергии и информации в волне. Действительно, в первом приближении теории дисперсии амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядка:

. ()

Умножая уравнение (41) на А * и складывая его с комплексным сопряжением уравнения (41), умноженным на А , получим

,

то есть энергия волнового пакета распространяется с групповой скоростью.

Нетрудно видеть, что

.

В области аномальной дисперсии ( 1 <  0 <  2 , рис. 1) возможен случай

dn / d  < 0, что соответствует v гр > c , но при этом существует столь сильное затухание, что не применимы ни сам метод ММА, ни первое приближение теории дисперсии.

Распространение волнового пакета происходит без искажения только в первом порядке теории дисперсии. Учитывая в разложении (37) квадратичное слагаемое, получим интеграл (38) в виде:

. ()

Здесь обозначено  = t – z / v гр , k " = d 2 k ( 0 )/ d  2 = d (1/ v гр )/ d  – дисперсия групповой скорости . Прямой подстановкой можно показать, что амплитуда волнового пакета A (z , t ) вида (42) удовлетворяет диффузионному уравнению

()

с мнимым коэффициентом диффузии D = – id 2 k ( 0 )/ d  2 = – id (1/ v гр )/ d  .

Отметим, что даже если дисперсия очень слаба, а спектр сигнала  очень узкий, так что в его пределах третий член в разложении (37) много меньше второго, то есть  d 2 k ( 0 )/ d  2 << dk ( 0 )/ d  , то на некотором расстоянии от входа в среду искажение формы импульса становятся достаточно большими. Пусть на входе в среду сформирован импульс A 0 (t ) длительностью  и . Раскрыв скобки в показателе экспоненты в соотношении (42), получим:

.

Переменная интегрирования меняется здесь в пределах порядка  и , поэтому если (дальняя зона), то можно положить, тогда интеграл примет вид преобразования Фурье:

,

где – спектр входного импульса, .

Таким образом, импульс в среде с линейной дисперсией групповой скорости в дальней зоне превращается в спектрон – импульс, огибающая которого повторяет спектр входного импульса. При дальнейшем распространении форма импульса не меняется, но увеличивается его длительность при одновременном уменьшении амплитуды.

Из уравнения (43) можно получить некоторые полезные законы сохранения для волнового пакета. Если проинтегрировать по времени выражение

A * L (A ) + AL (A * ), где, то получим закон сохранения энергии:

.

Если проинтегрировать по времени выражение L (A )  A * /  – L (A * )  A /  = 0, то получим второй закон сохранения:

.

Проинтегрировав же по времени само уравнение (43), получим третий закон сохранения:

.

При выводе всех законов сохранения учитывалось, что A ( ) = dA ( )/ d  = 0.

Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде

При наличии потерь закон сохранения электромагнитной энергии (1.33) принимает вид:

 W /  t + div S + Q = 0, ()

где S – вектор Пойтинга вида (1.34), Q – мощность тепловых потерь, которые приводят к уменьшению со временем амплитуды волны. Рассмотрим квазимонохроматические ММА-волны.

()

Используя выражение для дивергенции векторного произведения и уравнения Максвелла (1.16), (1.17), получаем:

.

Подставляя сюда выражения (45) для ММА-полей и усредняя его по периоду колебаний электромагнитного поля Т = 2  /  , что уничтожает быстро осциллирующие компоненты exp (–2 i  0 t ) и exp (2 i  0 t ), получим:

. ()

Будем рассматривать немагнитную среду с  = 1, то есть B 0 = H 0 , и используем материальное уравнение вида (2), связывающее вектора D и E , чтобы получить связь между медленно меняющимися амплитудами полей вида (45) для случая однородной и изотропной среды без пространственной дисперсии

.

В слабо диспергирующей среде  ( ) – почти дельта-функция, то есть за время запаздывания поляризации поле почти не меняется и его можно разложить по степеням  , учитывая только первые два слагаемые:

.

Заметим, что величина в квадратных скобках, как следует из соотношения (11), равна диэлектрической проницаемости среды на частоте  0 , поэтому

.

Для узкополосного процесса производная  D 0 /  t с той же точностью имеет вид

 D 0 /  t =  ( 0 )  Е 0 /  t + ... . Тогда соотношение (46) принимает вид:

()

Для чисто монохроматической волны постоянной амплитуды  dW / dt  = 0, тогда из уравнений (44) и (47) получаем:

. ()

Если пренебречь диссипацией, то есть положить в уравнении (44) Q = 0, а в уравнении (47) в силу соотношения (48)  " = 0,то получим:

,

откуда для средней плотности энергии электромагнитного поля следует

. ()

Литература

Беликов Б.С. Решение задач по физике. М.: Высш. школа, 2007. – 256 с.

Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2008. – 464 с.

Геворкян Р.Г. Курс общей физики: Учеб. пособие для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа, 2007. – 598 с.

Детлаф А.А., Курс физики: Учеб. пособие для ВУЗов М.: Высш. школа, 2008 – 608 с,

Иродов И.Е. Задачи по общей физике 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007.-416с.

Кикоин И.К., Китайгородский А.И. Введение в физику. М.: Наука, 2008. – 685 с.

Рыбаков Г.И. Сборник задач по общей физике. М.: Высш. школа, 2009.-159с.

Рымкевич П.А. Учебник для инж.- эконом. спец. ВУЗов. М.: Высш. школа, 2007. – 552 с.

Савельев И.В. Сборник вопросов и задач 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007.-288с.

10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекул. физика М.: Наука, 2009. – 551 с.

11. Трофимова Т.И. Курс физики М.: Высш. школа, 2007. – 432 с. .

12. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. М.: Высш. школа, 2008.-350с

13. Чертов А.Г. Задачник по физике с примерами решения задач и справочными материалами. Для ВУЗов. Под. ред. А.Г Чертова М.: Высш. школа, 2007.-510с.

14. Шепель В.В. Грабовский Р.И. Курс физики Учебник для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.:Высш. школа, 2008. - 614 с.

15. Шубин А.С. Курс общей физики М.: Высш. школа, 2008. – 575 с.

Пространственная и временная дисперсия электромагнитных волн, групповая и фазовая скорость волн в среде с дисперсией.

Фазовая скорость волны V ф =c/n в общем случае может зависеть от частоты (либо длины радиоволны
, здесь
– показатель преломления среды.В этом случае говорят о дисперсии диэлектрической проницаемости среды. Поскольку связь между фурье-компонентами векторов электрической индукции и электрического поля дается соотношением
, то наличие дисперсии означает, что относительная диэлектрическая проницаемость зависит от частоты, либо волнового числа. В случае, если является функцией только частоты
, то говорят о временной дисперсии, если
– о пространственной.

Физический смысл временной дисперсии заключается в следующем. Предположим, что элементы среды, (например, электроны на оболочке атомов) под воздействием электрического поля совершают колебания, фаза которых отстает от фазы колебаний внешней волны. Тогда волны, излучаемые этими частицами, будут испытывать дополнительную задержку и приходить в точку наблюдения позже, чем исходная электромагнитная волна. Пространственная дисперсия обычно возникает, если длина электромагнитной волны становится сравнимой с характерными внутренними масштабами среды, характеризующими степень воздействия электромагнитных волн на ее элементы. Такими масштабами могут быть длина свободного пробега частиц, радиус вращения заряженной частицы во внешнем магнитном поле (гирорадиус) и т.п. Во всех упомянутых случаях для определения закона дисперсии необходимо знать структуру вещества и особенности поведения отдельных атомов, либо молекул, во внешнем переменном электрическом поле.

Рассмотрим среду, обладающую дисперсией, в которой фазовая скорость V ф =
зависит от частоты волны . Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена в виде суммы монохроматических волн с различными амплитудами и частотами. В среде с дисперсией скорости распространения волн с различными частотами будут разными. В случае, когда разность частот много меньше средней частоты, то такой волновой пакет называется узким. Рассмотрим суперпозицию двух плоских монохроматических волн одинаковой амплитуды с близкими частотами
и
, которым отвечают волновые числа
и
, распространяющихся вдоль оси x

E (x, t ) = E 0 exp{
+ E 0 exp{

Учитывая выражение для косинуса угла cos=(exp {i } +exp {– i }/2, следующее из формулы Эйлера exp { i }= cos + i sin , получим

E (x,t ) = 2E 0 cos
exp {
}

Это выражение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется в зависимости от пространственной координаты и времени. Результирующий сигнал представляет из себя биения с медленно меняющейся амплитудой. Амплитуда биений остается неизменной, если
=const . Это означает, что огибающая волнового пакета распространяется с групповой скоростью

.

Направление групповой скорости совпадает с направлением переноса энаргии электромагнитной волной. Если среда не имеет дисперсии, то групповая скорость по величине совпадает с фазовой V гр =V ф =
и направлена вдоль .

В оптике хорошо известно явление дисперсии света, т. е. зависимость скорости распространения света в среде от его частоты Так как [см. (38.4)]

то показатель преломления среды также зависит от частоты. Подобная зависимость наблюдается не только в оптическом диапазоне, но и для электромагнитных волн любых других частот. Первое удовлетворительное объяснение явления дисперсии и одновременно поглощения электромагнитных волн в средах было дано в рамках электронной теории Лоренца.

Очевидно, что явление дисперсии в первую очередь связано с влиянием электромагнитного поля распространяющейся в среде волны на дипольные моменты молекул: Для упрощения примем, что молекулы достаточно массивны, а частота достаточно велика, поэтому можно пренебречь изменением со временем. Таким образом, будем учитывать лишь индуцированный дипольный момент

В качестве модели молекулы рассмотрим отдельный электрон с зарядом и массой те, смещенный на относительно положительно заряженного остова. Если скорость электрона мала по сравнению со скоростью света, т. е. то в выражении для силы Лоренца можно пренебречь вкладом магнитной индукции В волны, поскольку В Принимая еще, что электрон удерживается в молекуле квазиупругой силой - и учитывая силу реакции излучения, запишем уравнение движения электрона в виде

Решение этого уравнения можно использовать для вычисления полной плотности тока в среде, если предположить, что основной вклад в нее дают электроны. В частности, считая среду однородной с электронной концентрацией имеем

Запишем теперь усредненные уравнения Максвелла-Лоренца (57.6):

Учитывая, что, по закону сохранения заряда,

Поляризованность, запишем уравнения Максвелла в виде

Для нахождения поляризованности воспользуемся уравнениями (61.1) и (61.2). Именно: рассматривая лишь установившееся движение электрона, т. е. полагая

и считая, что напряженность мало меняется в пределах молекулы, из (61.2) выводим

Наконец, принимая напряженность действующего поля равной

и учитывая (61.6) и (61.7), находим из (61.1)

Здесь где у - коэффициент лучистого трения; собственная частота колебаний электрона в изолированном атоме; собственная частота электронных колебаний в атоме в среде (т. е. измененная под влиянием полей окружающих атомов); плазменная частота, соответствующая колебаниям свободных электронов в квазинейтральной среде (плазменные или ленг-мюровские колебания).

(см. скан)

Имея выражение (61.8) для поляризованности, нетрудно найти и вектор электрической индукции:

где введена комплексная диэлектрическая проницаемость

Здесь уместно заметить, что у в (61.10) можно считать коэффициентом лучистого трения только в предположении, что столкновения молекул друг с другом и со свободными электронами маловероятны. В самом деле, в результате столкновений часть энергии электронов переходит в энергию движения самих молекул, т. е. в теплоту. Эти потери энергии электронами необходимо добавить к чисто электромагнитным потерям на излучение. Феноменологически это делается добавлением к у некоторой не зависящей от части.

Полученное выше выражение для характерно для однорезонансной осцилляторной модели вещества, в которой предполагается, что собственные частоты всех электронов одинаковы и равны На самом же деле это не так, тем более что нужно учитывать еще и колебания ионов, собственные частоты которых обычно лежат в инфракрасной области. Для того чтобы учесть все электронные частоты, обычно вводят функцию распределения дисперсионных электронов по частотам Нормируя ее на единицу, т. е. полагая

Можно интерпретировать как концентрацию электронов, собственные частоты которых лежат в интервале В таком случае выражение (61.10) принимает вид

Интересно, что такое же выражение получается и в квантовой теории, где называется силой осциллятора.

Каков физический смысл комплексной диэлектрической проницаемости? Для выяснения этого выделим действительную и мнимую части Тогда

Из (61.12) следует, что является четной, а - нечетной функциями частоты:

и, кроме того, справедливо неравенство

Как было показано еще в § 50, связано с тепловыми потерями. Для того чтобы убедиться, что это действительно так и что тепловые потери пропорциональны явно положительному значению подсчитаем среднюю за период мощность силы «трения» действующей на отдельный электрон:

Выделяемая тепловая мощность получается умножением этого выражения на концентрацию электронов и интегрированием по

Учитывая выражения для вытекающие из (61.7) и (61.8), получаем

Сравнивая (61.15) с выражением для джоулевых потерь

приходим к выводу, что электропроводимость среды и связаны между собой:

В частности, для металлов, в которых основной вклад в проводимость дают свободные электроны с имеем

Это соотношение называется формулой Друде - Зинера и выражает зависимость электропроводимости металлов от частоты.

Заметим, что с помощью (61.16) выражение для в приводится к виду

откуда следует, что для металлов в статическом пределе в имеет полюсную особенность типа

где а - статическая электропроводимость.

Особый интерес представляет структура в для плазмы, в которой основную роль играют свободные электроны с т. е. можно положить согласно (61.11),

Очевидно, что такое поведение диэлектрической проницаемости характерно для любой среды в пределе чрезвычайно высоких частот, поскольку при все электроны можно считать свободными. Если в (61.20) пренебречь потерями, т. е. положить то получим

Изучим теперь распространение электромагнитных волн в диспергирующей среде. Начнем с самых простых плоских монохроматических волн, т. е. положим в уравнениях (61.4)

где постоянные векторы. Тогда с учетом (61.9) имеем:

Исключая из этих уравнений приходим к волновому уравнению

которое допускает два типа решений, соответствующих поперечным и продольным волнам.

Поперечные волны удовлетворяют условию т. е. векторы к образуют правую ортогональную тройку (рис. 61.1). В этом случае из волнового уравнения (61.23) выводим, что

т. е. волновой вектор к является комплексным. Считая, что волна распространяется вдоль оси т.е. полагая имеем

комплексный показатель преломления.

Для выяснения физического смысла рассмотрим плоскую электромагнитную волну:

где длина волны в вакууме. Отсюда следует, что определяет затухание амплитуды волны на расстоянии порядка длины волны и поэтому называется коэффициентом поглощения. Что же касается то это обычный показатель преломления, определяющий скорость перемещения поверхности постоянной фазы т. е. фазовую скорость волны

Разделяя действительную и мнимую части в соотношении находим:

Зависимость в простейшем случае, когда вблизи частоты имеется лишь одна изолированная собственная частота и поэтому можно ограничиться однорезонансным приближением, дана на рис. 61.2 [ - кривая кривая 2]. Анализ зависимости показывает, что коэффициент у, обычно удовлетворяющий условию имеет смысл ширины линии поглощения.

В частности, в области прозрачности вещества, т. е. вдали от линии поглощения, когда и можно положить в однорезонансном приближении

Вспоминая, что и разрешая (61.29) относительно приходим к соотношению

(формула Лоренца - Лоренца). Она была выведена независимо друг от друга в 1869 г. датчанином Лоренцем, в 1873 г.- Дж. К. Максвеллом и в 1879 г.- Г. А. Лоренцем (результат

Максвелла остался при этом незамеченным). Согласно (61.30), при заданной частоте оказывается пропорциональным концентрации электронов. Очевидно, что формула Лоренца - Лоренца является обобщением соотношения Клаузиуса - Мосотти (58.26).

Перейдем к рассмотрению второго типа плоских волн в среде - продольных. В этом случае поэтому из уравнений (61.22) следует, что

т. е. эти волны чисто электрические и могут существовать только для тех частот которые являются корнями уравнения

Если со достаточно велико, то в пренебрежении потерями можно воспользоваться упрощенным выражением (61.21), из которого следует, что Таким образом, в соответствии с результатом задачи 61.1 продольные волны связаны с поляризационными колебаниями электронов в среде и поэтому часто называются волнами поляризации или волнами Бора, который впервые использовал их для расчета потерь энергии заряженной частицы, движущейся в среде.

(см. скан)

В реальных физических задачах часто приходится исследовать распространение в среде не только плоских электромагнитных волн, но и волновых пакетов. Волновой пакет в диспергирующей среде можно построить по аналогии с (39.11) и (39.13). Ограничившись поперечными волнами, имеем:

где решение дисперсионного уравнения (61.24).

Рассмотрим достаточно узкие волновые пакеты, т. е. примем, что функция имеет резко выраженный максимум в некоторой точке Для описания поведения такого волнового пакета удобно ввести понятие о его центре, который можно

где усреднение производится по периоду

(см. скан)

Таким образом, практически для любого времени вычислять групповую скорость по формуле (61.36) можно только в прозрачной области, в которой В этом случае, дифференцируя по к соотношение (61.24), находим

Отсюда видно, что в области нормальной дисперсии, когда групповая скорость не превосходит фазовую, т. е. Однако в области аномальной дисперсии, когда будет а так как при этом возможны значения то групповая скорость может превосходить скорость света. Между тем, как видно, например, из рис. 61.2, область аномальной дисперсии совпадает с областью поглощения, в которой пользоваться формулой (61.36) нельзя и выводы из нее неправомочны.

(см. скан)

Помимо фазовой и групповой скоростей часто употребляются еще понятия скорости сигнала и скорости фронта сигнала. Под сигналом обычно понимается волновой пакет с резко ограниченными краями. Его передняя кромка называется фронтом. Можно показать, что скорость фронта сигнала в любой среде равна скорости света в вакууме [теорема Т. Леви-Чивиты (1913)]. Причину этого нетрудно понять, если заметить, что в области фронта поле испытывает резкие изменения, а это, в свою очередь, связано с присутствием в фурье-разложении поля бесконечно больших частот. Но, согласно (61.21), поэтому среда ведет себя по отношению к таким изменениям поля как вакуум. Очевидно, что это связано с инертностью заряженных частиц.

Структура фронта сигнала в диспергирующей среде была подробно изучена А. Зоммерфельдом и Л. Бриллюэном в 1914 г. Они обнаружили, что в среде с поглощением в промежутке между фронтом и основной группой можно выделить две области с заметно повышенной интенсивностью поля. Бриллюэн назвал их первым и вторым предвестниками. Как и следовало ожидать, скорости их не превышают с, а скорость основной группы, или скорость сигнала, отличается от групповой скорости вычисленной по формуле (61.36), только в области поглощения. Зависимость скорости сигнала от частоты схематически изображена на рис. 61.3 (на примере однорезонансной модели).

Интересное явление, связанное с влиянием вещества на электромагнитное поле, было обнаружено в 1934 г. советскими физиками П. А. Черенковым и С. И. Вавиловым. Они наблюдали узкий конус излучения, испускаемого быстрыми электронами в среде при условии, что их скорость превышала фазовую скорость света, т. е. при

Страница 1

Введение.

Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту монохроматической волны. Он может быть записан как , или в неявной форме .

Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря, интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая его решение в виде . В простейшем случае процесс распространения волны описывается уравнением

.

При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью , или , где скорость распространения волны есть постоянная величина. Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается более сложными уравнениями. Закон дисперсии также усложняется. Для звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым числом и частотой:

.

В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть действительная и мнимая части волнового числа:

Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости распространения волны , а мнимая часть - зависимость коэффициента затухания волны от частоты.

Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений . Здесь - матричный оператор, действующий на вектор-столбец .В качестве , например, для акустических волн может служить совокупность переменных (колебательная скорость, приращения плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн - компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей, электрического смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде :

Решение будет нетривиальным, только если . Отсюда получаются искомые зависимости . Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней означает, что система может описывать несколько типов собственных волн (мод) среды.

Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей распространения немонохроматических волн. Действительно, различные спектральные компоненты обладают в диспергирующей среде отличающимися скоростями и коэффициентами затухания:

В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно, изменяется результат их интерференции: форма немонохроматической волны искажается. Дисперсия коэффициента поглощения приводит к трансформации частотного спектра волны и дополнительному искажению формы импульса.

§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.

Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при учете этих свойств. Система уравнений Максвелла сохраняет свой вид. Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:

Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать

где - константы, т. е. значения и в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяются значениями и в той же точке и в тот же момент времени.

При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость поляризации от поля, действующего в других точках и в другие моменты времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших только в предыдущие моменты времени.

Сказанное можно записать математически, представляя материальные уравнения в общей интегральной форме:

, (1.1)

, (1.2)

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где - диэлектрическая проницаемость среды, - магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ 1, поэтому

Из формулы данной выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной, остается в то же время равной определенной постоянной - . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости от частоты световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества равна

где ж - диэлектрическая восприимчивость среды, 0 - электрическая постоянная, Р - мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

т. е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (v 10 15 Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны - оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р = ех, где е - заряд электрона, х - смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна n 0 то мгновенное значение поляризованности

Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е. Поле световой волны будем считать функцией частоты со, т. е. изменяющимся по гармоническому закону: E = E 0 cost.

Уравнение вынужденных колебаний электрона для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

где F 0 = eE 0 - амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, - собственная частота колебаний электрона, m - масса электрона. Решив уравнение, найдем = n 2 в зависимости от констант атома (е, m, 0) и частоты внешнего поля, т. е. решим задачу дисперсии. Решение уравнения можно записать в виде

Если в веществе имеются различные заряды eh совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами еа0|, то

где m 1 - масса i-го заряда.

Из выражений и вытекает, что показатель преломления л зависит от частоты внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в дальнейшем надо устранить. Из выражений и следует, что в области от = 0 до = 0 n 2 больше единицы и возрастает с увеличением (нормальная дисперсия); при = 0 n 2 = ± ; в области от = 0 до = n 2 меньше единицы и возрастает от - до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n 2 к n, получим, что график зависимости n от имеет вид, изображенный на рис. 3.

Такое поведение n вблизи 0 - результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции л (со) вблизи too задается штриховой линией АВ. Область АВ - область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании), остальные участки зависимости n от описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием).

Российскому физику Д.С. Рождественскому (1876-1940) принадлежит классическая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула

правильно характеризует зависимость n от, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.