Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.
Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.
Сумма числового ряда
Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:
Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:
- ∑ - математический знак суммы;
- a i - общий аргумент;
- i - переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
- ∞ - знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.
Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).
В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:
А 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 + … (до «плюс бесконечности).
Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:
S 2 = а 1 + а 2
S 3 = а 1 + а 2 + а 3
S 4 = а 1 + а 2 + а 3 + а 4
Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S n . Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».
Сначала найдем сумму числового ряда:
Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:
Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.
Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.
Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.
Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).
Функция РЯД.СУММ в Excel
Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:
Аргументы функции:
- х – значение переменной;
- n – степень для первого аргумента;
- m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
- а – коэффициенты при соответствующих степенях х.
Важные условия для работоспособности функции:
- все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
- все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
- вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
- количество «коэффициентов» = числу аргументов.
Вычисление суммы ряда в Excel
Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.
Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.
Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:
S 1 = a (1 + x).
На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:
S 2 = a (1 + x) 2 ; S 3 = a (1 + x) 2 и т.д.
Чтобы найти общую сумму:
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n
Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().
Исходные параметры для учебной задачи:
Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)
Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)
Результаты одинаковые, как и должно быть.
Как заполнить аргументы функции БС():
- «Ставка» - процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
- «Кпер» - число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
- «Плт» - периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
- «Пс» - «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».
Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.
В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.
Построение графика функций суммы числового ряда
Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:
В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.
Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:
Как мы считали – в строке формул.
На основании полученных данных построим график функций.
Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:
Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.
Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)
Добавим полученные значения в график «Рост капитала».
Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.
Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МАТИ» РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО
Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»
Числовые ряды
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Высшая математика»
Составители : Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
Корниенко Л.И.
Москва 2005 введение
Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета № 14 специальностей 071000, 130200, 220200.
1. Основные понятия
Пусть
u
1
,
u
2
,
u
3
,
…, u
n
,
…
бесконечная числовая последовательность.
Выражение
называетсябесконечным
числовым рядом
,
числа u
1
,
u
2
,
u
3
,
…, u
n
членами ряда;
называется общим членом ряда. Ряд часто
записывают в сокращенном (свернутом)
виде:
Сумму
первых n
членов числового ряда обозначают через
и называютn
-й
частичной суммой ряда
:
Ряд
называется сходящимся
,
если его n
-я
частичная сумма
при неограниченном возрастанииn
стремится к конечному пределу, т.е. если
Число
называютсуммой
ряда
.
Если
же n
-я
частичная сумма ряда при
не стремится к конечному пределу, то
ряд называютрасходящимся
.
Пример
1.
Найти сумму
ряда
.
Решение.
Имеем
. Так как:
,
Следовательно,
Так
как
,
то ряд сходится и его сумма равна
.
2. Основные теоремы о числовых рядах
Теорема
1.
Если
сходится ряд
то
сходится и ряд
получаемый
из данного ряда отбрасыванием первых
членов (этот последний ряд называют
-м
остатком исходного ряда). И наоборот,
из сходимости
-го
остатка ряда вытекает сходимость данного
ряда.
Теорема
2.
Если
сходится ряд
и суммой его является число
,
то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна
.
Теорема
3.
Если
сходятся ряды
имеющие соответственно суммыS
и Q,
то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна
.
Теорема
4
(Необходимый
признак сходимости ряда)
.
Если ряд
сходится, то
,
т.е. при
предел общего члена сходящегося ряда
равен нулю.
Следствие
1.
Если
,
то ряд расходится.
Следствие
2.
Если
,
то определить сходимость или расходимость
ряда с помощью необходимого признака
сходимости нельзя. Ряд может как
сходящимся, так и расходящимся.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда:
Решение.
Находим общий член ряда
.
Так как:
т.е.
,
то ряд расходится (не выполняется
необходимое условие сходимости).
3. Признаки сходимости рядов с положительными членами
3.1. Признаки сравнения
Признаки сравнения основаны на сравнении сходимости заданного ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Для сравнения используются ниже перечисленные ряды.
Ряд
составленный из членов любой убывающей
геометрической прогрессии, является
сходящимся и имеет сумму
Ряд
составленный из членов возрастающей
геометрической прогрессии, является
расходящимся.
Ряд
является расходящимся.
Ряд
называется
рядом Дирихле. При>1
ряд Дирихле сходится, при <1-
расходится.
При
=1
ряд
называется гармоническим. Гармонический
ряд расходится.
Теорема. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:
(2)
причем
каждый член ряда (1) не превосходит
соответствующего члена ряда (2), т.е.
(n
=
1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то
сходится и ряд (1); если расходится ряд
(1), то расходится и ряд (2).
Замечание.
Этот признак остается в силе, если
неравенствo
выполняется не при всех
,
а лишь начиная с некоторого номера
n
=
N
,
т.е. для всех n
N
.
Пример
3.
Исследовать
сходимость ряда
Решение.
Члены данного
ряда меньше соответствующих членов
ряда
составленного из членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
Так как этот ряд сходится, то сходится
и заданный ряд.
Теорема.
Второй признак сравнения (предельная
форма признака сравнения).
Если существует конечный и отличный от
нуля предел
,
то оба ряда
и
одновременно сходятся или расходятся.
Пример
4.
Исследовать
сходимость ряда
Решение.
Сравним ряд
с гармоническим рядом
Найдем предел отношения общих членов
рядов:
Так как гармонический ряд расходится, то расходится и заданный ряд.
Сумма ряда
сайт позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда . Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда . По сравнению с другими сайтами, сайт обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда , что позволит определить область сходимости исходного ряда , применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов , необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда . Наиболее известные и часто применяемые из них - это признаки Д"Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов , а также интегральный признак сходимости числового ряда . Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн , а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн , каждым членом которого, в отличие от числового ряда , является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт такой проблемы не существует.
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$
то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.
Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:
$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.
Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:
$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$
Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:
$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$
Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.
Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$
Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$
Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.
В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:
Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.
Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$
Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$
Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:
$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$
Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$
Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.
Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:
$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$
И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.
Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть
У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.
Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$
У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:
$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.
Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$
"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:
$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$
Тогда выражение для частичной суммы примет вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.
Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть
$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Ответ : $S=\frac{1}{3}$.
Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.
Основные понятия и определения
Пусть задана бесконечная числовая последовательность :
, … (1.1)
В прошлом году мы определяли числовую последовательность как функцию натурального аргумента. Это означает, что каждый член последовательности является функцией своего номера п
: 
. В дальнейшем иногда будем рассматривать и п
, равное нулю, поэтому числовую последовательность будем определять как функцию целочисленного
аргумента (от слов «целое число»).
Определение 1. Выражение
(1.2)
называется бесконечным числовым рядом
, или, короче, рядом
. Члены последовательности 
,… называются членами ряда
; выражение с индексом п
- общим членом ряда
.
Отличить последовательность от ряда просто: члены последовательности пишутся через запятую, члены ряда соединены знаками плюс.
Таким образом, понятие ряда является обобщением суммирования на случай бесконечного числа слагаемых.
Ряд считается заданным, если известна (задана) формула его общего члена. Общий член ряда (1.2) совпадает с общим членом последовательности (1.1) и также является функцией целочисленного аргумента n
, т.е. 
. Например, если задан общий член в виде
, (1.3)
то, полагая в этой формуле n = 1, 2, 3,..., можно найти любой член ряда, а тем самым и весь ряд:
- члены последовательности или члены ряда,
(1.4)
Числовой ряд.
Определение. Сумма n первых членов ряда называется n- ой частичной суммой ряда и обозначается символом :
Можно записать так: 
.
В частности,
Составим из всех частичных сумм ряда (1.2) числовую последовательность :
(1.7)
Она называется последовательностью частичных сумм. Как всякая числовая последовательность, она может иметь предел, т.е. сходиться, или не иметь предела, т.е. расходиться. Предел последовательности частичных сумм, если он существует, будем обозначать буквой S .
Определение. Ряд называется сходящимся (ряд сходится ), если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. При этом предел S последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда , т.е.
. (1.8)
Для сходящегося ряда, имеющего сумму S, можно формально записать равенство:
Ряд, не имеющий суммы (1.8), называют расходящимся
. В частности, если 
, то говорят, что ряд расходится к , и в этом случае используют символическое равенство
.
Замечание. Из равенства (1.6) следует, что любой член ряда можно представить как разность частичных сумм и :
. (1.10)
Изобразим геометрически последовательность частичных сумм. На рис.1.1,а и б ряд сходится, на рис.1.1,в - расходится.
|
|
|
Рис.1.1
Замечание 3.
Иногда номер члена ряда начинается с нуля: 
.
Примеры числовых рядов. Вычисление суммы ряда
Пример 1 º.
1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .
Здесь 
, .
Данный ряд расходится Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.
Пример 2 º.
Как обычно, чередование знаков + и - задается с помощью степени (-1). Здесь последовательность частичных сумм имеет вид:
т.е. значение частичной суммы зависит от чётности номера п :
Таким образом, чётные и нечётные частичные суммы стремятся к двум различным пределам:
чётные к нулю, нечётные - к единице:
|
Рис.1.2
Следовательно, последовательность не имеет предела, и данный ряд расходится.
Пример 3 º.
1 + 2 + 3 + ... + n + ...
Это арифметическая прогрессия с разностью . Напомним, что название «арифметическая» происходит оттого, что каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
.
В данной прогрессии 
, а последовательность частичных сумм имеет вид:
Пример 6º.
.
Вывод будет дан ниже. Здесь в знаменателе только нечётные числа.
Пример 7º.
. Вывод будет дан ниже.
Пример 8º.
Вывод будет дан ниже. Сумма ряда равна числу е - основанию натурального логарифма.
Сумму ряда вычислить не всегда легко и даже не всегда возможно. Поэтому в теории рядов чаще решается более простая задача - выяснение, сходится ряд или расходится. Это называется исследованием сходимости ряда.
