Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя
). Пусть
функции f(x)
и g(x)
дифференцируемы в некоторой
окрестности точки a
, за исключением, быть может, самой
точки a
, и пусть или 
. Тогда, если
существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел
отношения самих функций f(x)/g(x)
при x
→а,
причем
 | (1) |
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание . Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
Например, найти . Этот предел существует 
. Но отношение производных (1+
cosx)/
1=
1+
cos x
при x
→∞ не стремится ни к какому пределу.
Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.
Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Примеры.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x 0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x) , значения которого в окрестности точки x 0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x 0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x) .
Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P n (x) . Будем искать его в виде
| (1) |
В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .
Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:
Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена P n (x ) исходя из условия равенства производных.
Введем обозначение n ! = 1·2·3…n , 0! = 1, 1! = 1.
Подставим в (1) x
= x
0 и найдем , но с другой стороны 
. Поэтому
Учитывая третье условие и то, что
Очевидно,
что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула 
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:
Обозначим 
и назовем эту разность
n
-ым остаточным членом функции f(x)
в точке x
0 . Отсюда 
и, следовательно, если остаточный член
будет мал.
Оказывается, что если x 0 Î (a , b ) при всех x Î (a , b ) существует производная f (n+1) (x ), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x 0 и x такая, что остаток можно представить в виде:
Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
Где x Î (x 0 , x ) называется формулой Тейлора .
Если в этой формуле положить x 0 = 0, то она запишется в виде
где x Î ( x 0 , x ). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена .
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
- Рассмотрим функцию f(x)=e x
. Представим ее по формуле
МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем
производные до (n
+1) порядка:
Таким образом, получаем
Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .
Например, при x =1, ограничиваясь n =8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e :
причем остаток 
Отметим, что для любого x Î R остаточный член
Действительно, так как ξ Î (0; x ), то величина e ξ ограничена при фиксированном x . При x > 0 e ξ < e x . Докажем, что при фиксированном x
Имеем
Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x |<N .
Обозначим Заметив, что 0
Но , не зависящая от n , а так как q<1. Поэтому
Следовательно, 
Таким образом, при любом x , взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить e x с любой степенью точности.
- Выпишем разложение по
формуле МакЛорена для функции f(x)
=sin x
.
Найдем последовательные производные от функции f(x) =sin x .
Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:
Несложно заметить, что преобразовав n -й член ряда, получим
Так как
, то аналогично разложению e x
можно показать, что для всех x
.Пример . Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n =3 будем иметь:
Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:
Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.
- f(x) = cos x
. Аналогично предыдущему
разложению можно вывести следующую формулу:
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ
Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.
Функция y=f(x) , определенная на некотором отрезке [a, b ] (интервале (a, b )), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b ] соответствует большее значение функции, то есть если x 1 < x 2 , то f(x 1 ) < f(x 2 ) .
Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b ], если меньшему значению аргумента x из [a, b ]соответствует большее значение функции, то есть если x 1 < x 2 , то f(x 1 ) > f(x 2 ) .
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.
Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b ], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.
(-∞, a ), (c , +∞) – убывает;
(a, b ) – постоянная;
(b, c ) – возрастает.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
Правило Лопиталя
Определение 1
Правило Лопиталя: при некоторых условиях предел отношения функций, переменная которых стремится к $a$, равен пределу отношения их производных, при $x$, также стремящемся к $a$ :
$\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} $
Правило Лопиталя было открыто шведским математиком Иоганном Бернулли, который затем рассказал в письме о нём Лопиталю. Лопиталь же опубликовал это правило в первом учебнике по дифференциальному исчислению в 1696 году со своим авторством.
Правило Лопиталя применяется для выражений, сводимых к неопределенностям следующего вида:
$\frac{0}{0} \begin{array}{ccc} {} & {} & {\frac{\infty }{\infty } } \end{array}$
Вместо нуля в первом выражении может быть какая-либо бесконечно малая величина.
В общем случае правилом Лопиталя можно воспользоваться, если и в числителе, и в знаменателе одновременно нуль или бесконечность.
Условия, при которых можно применять правило Лопиталя:
- Соблюдается условие, при котором пределы функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x$ стремящемся к $a$ равны между собой и стремятся к нулю или бесконечности: $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=0$ или $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=\infty $;
- Возможно получить производные $f(x)$ и $g(x)$ в окрестности $a$;
- Производная функции $g(x)$ не нулевая $g"(x)\ne 0$ в окрестности $a$;
- Предел отношения производных функций $f(x)$ и $g(x)$, в записи выглядящий как $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} $ существует.
Доказательство правила Лопиталя:
- Пусть даны функции $f(x)$ и $g(x)$, причём наблюдается равенство пределов:
- $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} g(x)=0 $.
- Доопределим функции в точке $a$. Для этой точки будет справедливым условие:
- $\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} =\frac{f"(c)}{g"(c)}$.
- Величина $c$ зависит от $x$, но если $x\to a+0$, то $c\to a$.
- $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} \frac{f(x)}{g(x)} =\mathop{\lim }\limits_{c\to a+0} \frac{f"(c)}{g"(c)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} \frac{f"(c)}{g"(c)} $.
Алгоритм вычисления решения с использованием правила Лопиталя
- Проверка всего выражения на неопределенность.
- Проверка всех условий, изложенных выше перед дальнейшим использованием правила Лопиталя.
- Проверка стремления производной функции к $0$.
- Повторная проверка на неопределенность.
Пример № 1:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x} $
Решение:
- Предел функции $f(x)$ равен пределу $g(x)$ и оба они равны нулю: $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} (x^{2} +5x)=0$; $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} (3x)=0$
- $g"(x)=3\ne 0$ в окрестности $a$
- $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{2x+5}{3} $
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(x^{2} +5x\right)"}{\left(3x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{2x+5}{3} =\frac{0+5}{3} =\frac{5}{3} $
Пример № 2:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x} $
Решение:
Проверим условия применимости правила Лопиталя:
- $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (x^{3} -3x^{2} +2x)=\infty $; $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (x^{3} -x)=\infty $
- $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в окрестности $a$
- $g"(x)=6\ne 0$ в окрестности $a$
- $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3x^{2} -6x+2}{3x^{2} -1} $
Запишем производную и найдем предел функции:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(x^{3} -3x^{2} +2x\right)"}{\left(x^{3} -x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3x^{2} -6x+2}{3x^{2} -1} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle $
Повторяем вычисление производной пока не избавимся от неопределенности:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(3x^{2} -6x+2\right)"}{\left(3x^{2} -1\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{6x-6}{6x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(6x-6\right)"}{\left(6x\right)"} =\frac{6}{6} =1$
Пример № 3:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x} $
Решение:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(\sin 5x\right)"}{\left(x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{5\cos 5x}{1} =5\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \cos 5x=5$
Пример № 4:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2})^{1/x} $
Решение:
Прологарифмируем функцию:
$\ln y=\frac{1}{x} \ln (1+x^{2})=\frac{\ln (1+x^{2})}{x} $
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\ln (1+x^{2})}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left[\ln (1+x^{2})\right]"}{x"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\frac{2x}{1+x^{2} } }{1} =0$
Поскольку функция $ln(y)$ - непрерывная, получим:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (\ln y)=\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)$
Следовательно,
$\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)=0$
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y=1$
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2})^{1/x} =1$
- Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
- Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.
Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке.
Правило Лопиталя . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности
(1)
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).
В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью.
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
Пример 1. Вычислить
x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
Пример 2. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x
Пример 3. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
Пример 4. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.
Пример 5. Вычислить
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6. Вычислить
