Рассмотрим уравнение вида

Если
, то уравнение (5.1) с помощью подстановки
, гдеи– новые переменные, а
и– некоторые постоянные числа, определяемые из системы

,

приводится к однородному уравнению
.

Если
, то уравнение (5.1) принимает вид:

.

Сделав замену
, получим уравнение, не содержащее независимую переменную.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки:

а) (2; 2); б)
.

Решение. Положим
. Тогда

Сокращая на и собирая члены приdx и dz , получим

Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим

, где
.

Заменяя z на , получим общий интеграл исходного уравнения в виде

или, что то же самое,

. (5.2)

Равенство (5.2) определяет семейство окружностей

.

Центры указанных окружностей лежат на прямой
и в начале координат касаются прямой
. Функция
, в свою очередь, является частным решением уравнения заданного дифференциального уравнения.

Определим, какие из найденных окружностей, удовлетворяют начальным условиям, то есть решим задачи Коши:

а) полагая в общем интеграле
,
, находим
, поэтому искомой кривой является окружность
;

б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку
. Зато полупрямая

проходит через указанную точку, а, значит,соответствующая функция
и даёт искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение . Исходное уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель
в данном случае не равен нулю, поэтому сначала рассмотрим систему
.

Решая указанную систему, получим, что
. Выполняя в заданном уравнении замену
, приходим к однородному уравнению

Интегрируя последнее уравнение после подстановки
, находим
. Возвращаясь к старым переменнымx и y по формулам
, имеем.

1.6. Обобщенное однородное уравнение

Определение. Уравнение называетсяобобщённым однородным , если удаётся подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x , y , dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k - го измерения, dx – нулевого измерения и dy – (
)-го измерения.

Например, таковым будет уравнение

. (6.1)

Действительно, при сделанном предположении относительно измерений x , y , dx и dy члены левой части
иdy будут иметь соответственно измерения (–2), (2k ) и (k –1). Приравнивая эти величины, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k :

.

Это условие выполняется при
(при такомk все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение (–2)). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщённым однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
, гдеz – новая неизвестная функция. Проинтегрируем уравнение (6.1) описанным методом. Так как
, то
, а следовательно уравнение (6.1) примет вид:

Решая полученное уравнение путем разделения переменных, находим
, откуда
. Последнее равенство определяет общее решение уравнения (6.1).

1.7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение . Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и её производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где
и
– заданные непрерывные функции от x . Если функция
, то уравнение (7.1) имеет вид:

(7.2)

и называется линейным однородным уравнением , в противном случае (
≢0) оно называется линейным неоднородным уравнением .

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

;

;

(7.3)

Выражение (7.3) определяет общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция
обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), воспользуемся так называемымметодом вариации произвольной постоянной , который состоит в следующем: постараемся подобрать функцию
так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда производная функции (7.3) примет вид:

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), получим:

.

Отсюда
, где– произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет иметь вид:

. (7.4)

Заметим, что первое слагаемое в выражении (7.4) представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое – частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при
. Сформулируем замеченный факт в виде теоремы.

Теорема . Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
, то все остальные решения имеют вид
, где
– общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли . Будем искать решение уравнения (7.1) в виде
. Тогда
. Подставим найденную производную в исходное уравнение (7.1), получим:

.

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u (x ) как общий множитель за скобку:

. (7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
. Решим это уравнение, полагая произвольную постояннуюC равной нулю:

,
.

Найденную функцию v (x ) подставим в уравнение (7.5), откуда получим:

.

Решая его, приходим к:
.

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решение – функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая функция зависит от одной переменной – ДУ называют обыкновенным, в противном случае – ДУ в частных производных. Наивысший порядок

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши, теорема о существовании и единственности ее решения. Общее, частное решение (интеграл), особое решение.

F(x;y;y ’ )=0 – ДУ 1-го порядка(1)

y ’ =f(x;y) ДУ, разрешенное относительно производной(2)

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 – дифференциальная форма(3)

Задача отыскания решения ДУ 1-го порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию (y(x 0)=y 0), называется задачей Коши.

Т. Если в уравнении (2) функция f(x;y) и …
ее частная производная f y ’ (x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x 0 ;y 0), то существует единственное решение y=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Общее решение — функция y=φ(x;с) содержащая произвольную постоянную.

Частное решение – функция y=φ(x;с 0) полученная из общего решения при значении постоянной с=с 0 .

Если общее решение найдено в неявном виде Ф(x;y;c)=0, то оно называется общим интегралом ДУ. А Ф(x;y;c 0)=0 частный интеграл уравнения.

Функция φ(x;c) называется особым решением дифференциального уравнения F(x,y,y’) = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения.

Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Метод изоклин

Уравнение y ’ =f(x;y) устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом y ’ касательной к интегральной кривой. ДУ дает поле направлений на плоскости Оxy. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины f(x;y)=с.

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделенными переменными: P(x)dx+Q(y)dy=0

Общий интеграл ДУ:

Уравнение с разделяющимися переменными: P 1 (x)Q 1 (y)dx+P 2 (x)Q 2 (y)dy=0

Однородные ДУ. Уравнения сводящиеся к однородным

Функция f(x;y) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λ n , т.е. f(λ x; λ y)= λ n f(x;y). ДУ y ’ =f(x;y) называется однородным если функция f(x;y) есть однородная ф-я нулевого порядка

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 дифференциальная форма однородного ДУ

Уравнение вида можно свести к однородному типу. Нужно составить систему вида:
Пусть решение этой системы:

Тогда, для приведения уравнения к однородному типу необходимо сделать подстановку вида
Если система не имеет решения следует сделать замену .

Если уравнение удается преобразовать к виду , то это уравнение называется однородным. Нетрудно показать, что уравнение в дифференциальной форме M (x , y ) dx + N (x , y ) dy = 0 является однородным тогда и только тогда, когда функции M (x , y ) и N (x , y ) однородные функции одной и той же степени. Напомним, что функция F(x 1 ,x 2 ,..,x n) называется однородной степени k, если для неё выполнено соотношение F(tx 1 ,tx 2 ,..,tx n)=t k F(x 1 ,x 2 ,..,x n).

Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = xu, или, что тоже самое, , где u новая искомая функция. Действительно, тогда y" = u + u"x и исходное уравнение может быть переписано в виде u + u"x = f (u ), или u"x = f (u )u . Из последнего при f (u )u можем записать .

Пример . Решить уравнение (y 2 - 2xy)dx + x 2 dy = 0. Это однородное уравнение, так как y 2 - 2xy и x 2 однородные функции второй степени. Делаем замену y = xu, dy = udx + xdu. Подставляя в уравнение, имеем

(x 2 u 2 - 2x 2 u)dx + x 2 (udx + xdu) = 0.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на x 2 , получаем уравнение с разделяющимися переменными

(u 2 - u)dx + xdu = 0

Разделяя переменные, получаем или, что то же самое, Интегрируя последнее соотношение, имеем lnu - ln(u-1) = lnx + lnC. Потенцируя (переходя от логарифмической функции к e x), можем записать или, делая обратную замену , получаем общий интеграл уравнения

Уравнения вида приводятся к однородным переносом начала координат в точку пересечения прямых a 1 x + b 1 y +c 1 = 0, a 2 x + b 2 y +c 2 = 0, если определитель отличен от нуля, и заменой a 1 x + b 1 y = z, если этот определитель равен нулю.

Решить однородные уравнения онлайн можно с помощью специального сервиса

Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом справедливо тождество

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным относительно х и у , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Решение однородного дифференциального уравнения.

Так как по условию . Положим , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. А само уравнение в этом случае примет вид .

Сделаем подстановку ; т.е. , тогда , подставим в исходное уравнение - это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение вида
(1)
можно свести к однородному типу.
Общий вид преобразований.
Для того, чтобы привести уравнение (1) к однородному типу дифференциальных уравнений надо составить систему вида:

Первый случай.
Эта система имеет решение.
Пусть решение этой системы:
.
Тогда, для приведения уравнения (1) к однородному типу необходимо сделать подстановку вида

Второй случай.
Напомним. Уравнение

Приводим к однородному типу, составили систему
,
а решений эта система не имеет.
В этом случае следует сделать замену .

6. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли. Уравнения Бернулли .

Неоднородное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит тождественно не равный нулю свободный член - слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение - уравнение с разделяющимися переменными.

7. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка методом вариации произвольной постоянной .

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена - слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение - однородно, если .

В случае, если , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении

Уравнение вида

называется линейным неоднородным уравнением.
Уравнение вида

называется линейным однородным уравнением.